Partiell differentialekvation

Uppgift: Lös diff.ekv. $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - 7 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + 12 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = x$ , genom att införa nya variabler . $u = 3 x + y, v = 4 x + y$ . (Tips: notera att $x = v - u$ )

Beräkning: $g (u, v) = g (3 x + y, 4 x + y)$

Trädet jag ritade.

Jag får fram att: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, g_{1} = \frac{\partial g}{\partial u}, g_{2} = \frac{\partial g}{\partial v} = 3 g_{1} + 4 g_{2}$

Samt att: $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} = g_{1} + g_{2}$

Problem: Det krånglar sig alltid när jag ska beräkna t.ex. $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}$

Jag får att: $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (3 g_{1} + 4 g_{2}) = 3 \frac{\partial g_{1}}{\partial x} + 4 \frac{\partial g_{2}}{\partial x}$

Men frågan är om g1 och g2 har samma träd som g? Jag har ju redan deriverat g på x och y och gör jag det igen så borde det bli noll?
Men om det är samma träd som g så borde jag isf få 9g1+16g2?

Jag får inte till tankesättet där..

Tack på förhand!

Hej Philip,

Ändras $x$ så ändras även $u$ och $v$ ; detsamma gäller om du ändrar $y$ . Hur ändringarna hänger ihop ges av följande samband, härledda med Kedjeregeln och definitionerna och $u$ och $v$ .

$\frac{\partial}{\partial x} = 3\frac{\partial}{\partial u} +4\frac{\partial}{\partial v}\\\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial u} +\frac{\partial}{\partial v}.$

Detta medför följande uttryck för andraderivatorna, där ordningen hos blandade derivator är oväsentlig eftersom funktionerna som ska derivera antas vara av typen $\mathcal{C}^2$ .

$\frac{\partial^2}{\partial x^2} = (3\frac{\partial}{\partial u} +4\frac{\partial}{\partial v})(3\frac{\partial}{\partial u} +4\frac{\partial}{\partial v}) = 9\frac{\partial^2}{\partial u^2}+16\frac{\partial^2}{\partial v^2}+24\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}\\\frac{\partial^2}{\partial y^2} = (\frac{\partial}{\partial u} +\frac{\partial}{\partial v})(\frac{\partial}{\partial u} +\frac{\partial}{\partial v}) = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}+2\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}\\\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}=(3\frac{\partial}{\partial u} +4\frac{\partial}{\partial v})(\frac{\partial}{\partial u} +\frac{\partial}{\partial v})=3\frac{\partial^2}{\partial u^2}+4\frac{\partial^2}{\partial v^2}+7\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}.$

Med dessa förberedelser bakom oss blir den intressanta partiella differentialekvationen

$14\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}-\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v} = v-u\iff \frac{\partial}{\partial u}(14\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial g}{\partial v})=v-u.$

Integrering med avseende på $u$ ger

$14\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial g}{\partial v} = uv-\frac{u^2}{2}+h(v)$ där $h$ betecknar en godtycklig funktion av $v$ .

Detta är en knepig ekvation att lösa.

Kanske var variabelsubstitutionen olämplig eller begicks misstag då man uttryckte derivatorna med avseende på $x$ och $y$ i de nya variablerna eller så är den ursprungliga partiella differentialekvationern felskriven. (Jag har kontrollerat övergången från x och y till u och v flera gånger utan att upptäcka några misstag, så jag är benägen att tro att den ursprungliga part. diff. ekvationen är felskriven.)

Jag har har kommit fram till ett svar som jag tror stämmer :) Tror du har råkat göra fel i förenklingen, dvs ditt sista steg.

Jag fick samma som du i de partiella derivatorna.

$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 9 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} + 16 \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} + 24 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} + 2 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 3 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} + 7 \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} + 4 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v}$

Vid insättning av dessa i ursprungsekvationen så fick jag:

$(9 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} - 21 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} + 12 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}}) + (16 \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} - 28 \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}} + 12 \frac{\partial^{2} g}{\partial v^{2}}) + (24 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} - 49 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} + 24 \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v}) = x$

Som förenklas till:

$- \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} = u - v \leftrightarrow \frac{\partial^{2} g}{\partial u \partial v} = v - u \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial g}{\partial v}) = v - u$

Sen integrerade jag m.a.p. U.

$\frac{\partial g}{\partial v} = u v - \frac{u^{2}}{2} + H (v)$

Sen integrerar jag igen fast m.a.p. V

$g = \frac{u v^{2}}{2} - \frac{u^{2} v}{2} + \int H (v) d v + J (u)$

$g = \frac{u v^{2}}{2} - \frac{u^{2} v}{2} + P (v) + J (u)$

Detta ger att:

$f (x, y) = g (3 x + y, 4 x + y) = \frac{(3 x + y) {(4 x + y)}^{2} - {(3 x + y)}^{2} (4 x + y)}{2} + P (4 x + y) + J (3 x + y)$

Detta tror jag är det slutgiltiga svaret, med förenkling då men orkade inte nu ;)

Vad tror du?

Svara

Visa senaste svar