Partiell differentialekvation

Hej! Jag har fastnat på en uppgift i vektoranalysen där jag kommit fram till ekvationssystemet till vänster om pilen nedan. Enligt lösningsförslaget är det korrekt, och för att komma vidare med uppgiften ska man se att ekvationssystemet medger f(x,y) = g(xy).

Hur ser man det?

$\{\begin{cases} \{\begin{cases} 2 f (x, y) = y * f' y \\ 2 f (x, y) = x * f' x \end{cases} \\ x * f' x = y * f' y \end{cases} \Rightarrow f (x, y) = g (x y)$

Du har att om du låter

$\gamma(t) = (x(t), y(t))$

så gäller det att

$\frac{d}{d t} f (γ (t)) = x' (t) f_{x} (x (t), y (t)) + y' (t) f_{y} (x (t), y (t))$

Så om man har att

$x'(t) = x(t)$ , och

$y'(t) = -y(t)$

så får man att $\frac{d}{d t} f (γ (t)) = 0$ , med andra ord så är den konstant längs dessa kurvor. Det är enkelt att se att dessa kurvor blir

$x(t) = Ce^t$

$y(t) = De^{-t}$

Längs dessa kurvor är alltså $xy$ konstant. Därför behöver man endast veta vad $xy$ är för att veta vad $f(x, y)$ ska vara, eller ett annat sätt att uttrycka det på

$f(x, y) = g(xy)$

för någon deriverbar funktion g.

Hej!

Division med f (så länge den är nollskild) ger att

yf'y/f = 2,

vilket är samma sak som att

y(log f)'y = 2.

Detta betyder att

log f = 2log y + 2log g(x),

där g är en godtycklig deriverbar funktion. Detta är samma sak som att

f = (yg(x))^2.

Ekvationen

2f = xf'x

medför att

(yg)^2 = xy^2gg',

vilket säger att

g = xg'.

Denna ordinära differentialekvation säger att g(x) = cx där c är en godtycklig konstant. Resultatet är att

f(x,y) = a(xy)^2,

där a är en godtycklig icke-negativ konstant.

Albiki

Svara