Partiell deriverbarhet i öppna definitionsmängder
Om en funktion är partiellt deriverbar så är enligt definitionen alla punkter i definitionsmängden D inre punkter, dvs. funktionen f förutsättes vara definierad i en öppen mängd. Kravet motiveras av att differenskvoterna 1h(f(a+hej)-f(a)) bör vara definierade för alla h≠0 med tillräckligt litet absolutbelopp.
Jag tolkar deras resonemang på så vis att om D hade varit en sluten mängd och om a är en punkt på randen av D, så är ovanstående differenskvoter inte definierade för alla h≠0. Har jag förstått rätt?
Men jag tänker samtidigt på exempelvis envariabelsfallet, där vi har exempelvis identitetsfunktionen f(x)=x i intervallet 0≤x≤1, dvs. en sluten definitionsmängd. Vi kan ju fortfarande derivera f(1). Har jag missförstått vad de vill säga eller finns något annat som jag missar?
Randpunkter har ju grannpunkter utanför definitionsmängden.
I ditt fall existerar inte f(1 + h) för positiva h, så differenskvoten vid x = 1 är odefinierad för h > 0.
Dr. G skrev :Randpunkter har ju grannpunkter utanför definitionsmängden.
I ditt fall existerar inte f(1 + h) för positiva h, så differenskvoten vid x = 1 är odefinierad för h > 0.
Ja precis. Men innebär det att f(1) inte är deriverbar?
Hej!
Om a är en punkt på randen till definitionsmängden så är a+h en punkt som ligger utanför definitionsmängden, vilket betyder att objektet f(a+h) inte existerar.
Funktionen f kan mycket väl vara definierad på en sluten mängd, men den måste vara differentierbar på det inre av den slutna mängden (som är en öppen mängd).
Albiki
