Partiell deriverbarhet i öppna definitionsmängder
Om en funktion är partiellt deriverbar så är enligt definitionen alla punkter i definitionsmängden D inre punkter, dvs. funktionen f förutsättes vara definierad i en öppen mängd. Kravet motiveras av att differenskvoterna bör vara definierade för alla med tillräckligt litet absolutbelopp.
Jag tolkar deras resonemang på så vis att om D hade varit en sluten mängd och om a är en punkt på randen av D, så är ovanstående differenskvoter inte definierade för alla . Har jag förstått rätt?
Men jag tänker samtidigt på exempelvis envariabelsfallet, där vi har exempelvis identitetsfunktionen f(x)=x i intervallet , dvs. en sluten definitionsmängd. Vi kan ju fortfarande derivera f(1). Har jag missförstått vad de vill säga eller finns något annat som jag missar?
Randpunkter har ju grannpunkter utanför definitionsmängden.
I ditt fall existerar inte f(1 + h) för positiva h, så differenskvoten vid x = 1 är odefinierad för h > 0.
Dr. G skrev :Randpunkter har ju grannpunkter utanför definitionsmängden.
I ditt fall existerar inte f(1 + h) för positiva h, så differenskvoten vid x = 1 är odefinierad för h > 0.
Ja precis. Men innebär det att f(1) inte är deriverbar?
Hej!
Om är en punkt på randen till definitionsmängden så är en punkt som ligger utanför definitionsmängden, vilket betyder att objektet inte existerar.
Funktionen kan mycket väl vara definierad på en sluten mängd, men den måste vara differentierbar på det inre av den slutna mängden (som är en öppen mängd).
Albiki
