partiell derivata av högre ordning

jag försöker lösa differentialekvationen $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2} + \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2} =\hspace{0.17em}{x}^2 + y^2$ då u(x,y) = f(r) samt $r =\hspace{0.17em}\sqrt{x^2+y^2}$
jag vet inte riktigt hur man ska använda r i beräkningen tidigt i funktionen så jag bytte ut r med $\sqrt{x^2+y^2}$ vet inte om det är en onödigt lång väg att gå? eller kan man utföra beräkningen med r direkt?
jag gjorde iaf såhär 
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial f}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ och då fick jag $\frac{\partial 2u}{\partial x^2}=\frac{y^2}{{\left(x^2+y^2\right)}^{3/2}}*\frac{\partial u}{\partial f} + \frac{x^2}{x^2+y^2}*\frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}$
samt 
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}*\frac{\partial u}{\partial f}$och då fick jag $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=\frac{x^2}{{(x^2+y^2)}^{3/2}}*\frac{\partial u}{\partial f}+ \frac{y^2}{x^2+y^2}*\frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}$
osäker på om jag kan skriva detta $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}$ då är en funktion?
men iaf sen satte jag in beräkningarna i funktionen och fick   

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2} + \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2} =\hspace{0.17em}\frac{\partial u}{\partial f}*\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}=x^2+y^2$

här byter jag ut värden med r och får då $\frac{\partial u}{\partial f}*\left(\frac{1}{r}\right) + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}=r^2$ (*)
sedan letar jag integrerande faktorn g(r) = 1/r och får gå G(r) = ln r
vilket ger mig integrerande faktorn $e^{\ln \left(r\right)} =\hspace{0.17em}r$
multiplicerar det på båda sidorna av funktionen (*)
skriver då $\frac{\partial u}{\partial f} +r * \frac{{\partial }^{2}u}{\partial f^2}=r^3$ och gör om det till $\frac{\partial }{\partial f}\left(r * \frac{\partial u}{\partial f}\right)=r^3$
får då $\frac{\partial u}{\partial f}=\frac{r^3}{4}+A$ sen gör jag något fel för när jag ska beräkna integralen nu till funktionen så får jag 

$f\left(r\right) =\hspace{0.17em}\frac{r^4}{16}+r*A+b$ men det ska vara ln (r) * A ? hur kommer det sig? är det här jag gör nått fel eller är det i beräkningarna innan integralen? säg gärna till om jag använder fel beteckningar i du/df osv :)