Partiell Derivata

Gravitationspotentialen u inuti ett homogent klot med radie R skall bestämmas. Ur newtons teori för gravitationen kan härledas följande egenskaper hos u (med lämplig normering):

(A)      $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=1, x^2+y^2+z^2\le R^2$

(B)      u beror bara på    $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, u\left(x,y,z\right)=f\left(r\right)$

(C)      u är en kontinuerlig (och alltså begränsad) funktion i $x^2+y^2+z^2\le R^2$  

(D)      u = 0 på klotets rand  $x^2+y^2+z^2 = R^2$

Använd (A)-(D) för att bestämma u(x,y,z)

Jag börjar med att derivera f(r) med respekt till x, y och z. Så lyder väll ändå

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}=f\text{'}\left(r\right)*\frac{x}{r}, \frac{\partial f}{\partial y}=f\text{'}\left(r\right)*\frac{y}{r}, \frac{\partial f}{\partial z}=f\text{'}\left(r\right)*\frac{z}{r} \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f\text{'}\text{'}\left(r\right)*\frac{x^2}{r^2}+f\text{'}\left(r\right)*\frac{1}{r} \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=f\text{'}\text{'}\left(r\right)*\frac{y^2}{r^2}+f\text{'}\left(r\right)*\frac{1}{r} \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=f\text{'}\text{'}\left(r\right)*\frac{z^2}{r^2}+f\text{'}\left(r\right)*\frac{1}{r} \end{gathered}$$

Som insatt i diff ekvationen ger 

$$\begin{gathered} \frac{3}{r}f\text{'}\left(r\right)+\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}f\text{'}\text{'}\left(r\right)=1 \\ \frac{3}{r}f\text{'}\left(r\right)+f\text{'}\text{'}\left(r\right)=1 \end{gathered}$$

Facit ger svaret $f\left(r\right)=\frac{1}{6}\left(r^2-R^2\right)$

Som inte ger rätt svar i ekvationen jag kom fram till då

$f\text{'}\left(r\right)=\frac{r}{3}, f\text{'}\text{'}\left(r\right)=\frac{1}{3} som insatt i ekvationen ger \frac{4}{3} istället för 1$

Vart gick jag fel?