Partialintegration: hur vet man vilken funktion som ska deriveras respektive integreras?
Hej!
Detta kanske är en dum fråga som jag bara inte ser svaret på då min bok inte nämner det alls. Jag undrar dock hur man vet vilken funktion som ska deriveras respektive integreras vid partialintegration. Här är ett exempel för att visa vad jag menar:
I min bok löses denna såhär:
som sedan partial integreras ytterligare för att få ett svar.
Vem säger dock att såhär inte är rätt istället: ?
Eller ger dessa i slutändan samma svar?
All hjälp uppskattas! :)
Kan du se varför vi inte kan integrera direkt? Det är för att integranden är en produkt av två helt olika elementära funktioner, en polynomfunktion och en trigonometrisk funktion. Uttrycket kan då inte förenklas som det står. Med partialintegration kan du emellertid successivt minska gradtalet på polynomet ner till 0, varvid till sist återstår en konstant gånger en trigonometrisk fkn, som du lätt integrerar. Det är inte matematiskt fel att göra som du föreslår, men det förvärrar problemet istället för att förenkla det.
Om du deriverar x^2 så får du 2x, d.v.s något enklare. Derivera igen så får du 2, d.v.s något enklare.
Samtidigt så ska du integrera cos(x). Du får sin(x), d.v.s något som är lika komplicerat/enkelt som cos(x).
Om du skulle byta ordning på integrering/derivering så får du istället en mer komplicerad term innehållande x^3.
Tomten skrev:Kan du se varför vi inte kan integrera direkt? Det är för att integranden är en produkt av två helt olika elementära funktioner, en polynomfunktion och en trigonometrisk funktion. Uttrycket kan då inte förenklas som det står. Med partialintegration kan du emellertid successivt minska gradtalet på polynomet ner till 0, varvid till sist återstår en konstant gånger en trigonometrisk fkn, som du lätt integrerar. Det är inte matematiskt fel att göra som du föreslår, men det förvärrar problemet istället för att förenkla det.
Aha jag förstår. Jag blev förvirrad när jag försökte återkoppla det till idén om att varje funktion har endast en generell primitiv som bara skiljs åt med sin konstant. Vid första anblick ser det ju ut som att de ger olika svar för mig iallafall, men jag antar att det då går att visa att de är samma i slutändan.
Vad jag förstår ska man då alltså integrera/derivera det som blir lättast att lösa ( och som följer principen av partialintegration )?
Ja, det gäller att vara så fräck och lat som möjligt, men aldrig mer än så.
