Partialintegration av e^x*ln(1+e^x) - vart går jag fel?

Försöker lösa $\int e^{x} \times \ln (1 + e^{x}) d x$

Jag gör såhär:

$t = 1 + e^{x} - > \frac{d t}{d x} = e^{x} - > d t = e^{x} d x \int e^{x} \times \ln (1 + e^{x}) d x = \int \ln t d t = \int 1 \times \ln t d t = t \ln t - \int t \times \frac{1}{t} d t = t \ln t - \int 1 d t = t \ln t - t = t (\ln t - 1) = (e^{x} + 1) (\ln (e^{x} + 1) - 1)$

vilket då är fel. Enligt facit är svaret $(e^{x} + 1) (\ln (e^{x} + 1) - e^{x}$ och jag kan inte säga att jag förstår hur? Jag misstänker att felet ligger i substitutionen mellan e^x*dx och dt men jag är inte säker på exakt varför eller om det ens är rätt.

All hjälp uppskattas!

Varför följer du inte tipset som du har skrivit i rubriken och gör en partiell integration? Då kan du derivera logaritmutrycket i stället för att behöva integrera det.

Du har gjort rätt (och använt partiell integration vad jag kan se?). Om du gångrar ihop parenteserna i både ditt och facits svar så ser du att det skiljer en etta, som de antagligen bakat in i ett +C eftersom det bara är en konstant.

Micimacko skrev:
Du har gjort rätt (och använt partiell integration vad jag kan se?). Om du gångrar ihop parenteserna i både ditt och facits svar så ser du att det skiljer en etta, som de antagligen bakat in i ett +C eftersom det bara är en konstant.

Aha då fattar jag. Blev så himla förvirrad. Tack!

Du kan och bör alltid derivera ditt förslag på en primitiv funktion för att säkerställa om du har gjort rätt eller fel. Väldigt ofta kommer ditt resultat att skilja lite från facit beroende på vad man bakar in i konstanten C och hur uttrycket är faktoriserat samt skriven.

Svara

Visa senaste svar