Partialintegration

Har problem med en uppgift.

Uppgiften lyder: Lös samtliga primitiver till:

$\int x a r c \tan (x) d x$

Så här långt kommer jag:

$\int x a r c c \tan (x) d x$

P.I,

f(x) = x ,

g(x) = arctan x

= $\frac{x^{2}}{2} a r c \tan x - \int \frac{x^{2}}{2} \times \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{x^{2}}{2} a r c \tan x - \frac{x^{3}}{6} a r c \tan x + C$

Svaret ska bli:

$\frac{x^{2} + 1}{2} a r c \tan x - \frac{x}{2} + C$

Tips uppskattas.

Hej!

Det verkar vara en god idé att integrera x och derivera \arctan x. När jag gör det får jag resultatet

$\int x\arctan x \,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx$ ;

jag bortser från integrationskonstanten här.

Sedan kan du skriva

$\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$

och detta är nu lätt att integrera.

Albiki

Svara