Partialderivata

Jag förstår inte riktigt hur man ska tänka på denna uppgift:

Jag tänkte att man sätter (x²+xy+y²)= g(x,y) och uttrycker det istället som z(x,y)= f(g(x,y)). När den deriveras blir det inre derivata mult. yttre derivata: z'x(x,y)=g'(x,y)*f'(g(x,y))= (2x+y)(f'(x²+xy+y²)

z''xx(x,y)= g''(x,y)*f'(g(x,y) + g'(x,y)*f''(g(x,y)= 2*f'(x²+xy+y²)+ (2x+y)*f''(x²+xy+y²), x=1 och y=1

z''xx(1,1)= 2*f'(3)+3*f''(3)= 2+3= 5

Men i facit står det att svaret blir 20.

Du gör som jag skulle vilja göra; få se vad som händer om jag försöker lösa den.

$z (x, y) = f (x^{2} + x y + y^{2}) = f (g (x, y)) z'_{x} = f'_{x} (g (x, y)) * g'_{x} (x, y) z''_{x x} = f''_{x x} (g (x, y)) * {(g'_{x} (x, y))}^{2} + f'_{x} (g (x, y)) * g''_{x x} (x, y) \{\begin{cases} g'_{x} (x, y) = 2 x + y \\ g''_{x x} (x, y) = 2 \end{cases} z''_{x x} = f''_{x x} (g (x, y)) * {(2 x + y)}^{2} + f'_{x} (g (x, y)) * 2 z''_{x x} (1, 1) = f''_{x x} (3) * 3^{2} + f'_{x} (3) * 2 z''_{x x} (1, 1) = 2 * 9 + 1 * 2 = 18 + 2 = 20$

Du missade att g'_x fås ut två gånger då man deriverar f-funktionen två gånger.

Hur kommer det sig att g'x fås ut två gånger?

Derivatan av två funktioner multiplicerade med varandra ges av:

F(x)= G(x)*H(x)

så är

F'(x)= G'(x)*H(x) + G(x)*H'(x)

Ersätt F med z', G med f' och H med g' och du har den andra raden i mina uträkningar. Gå till raden nedanför och G:s derivata, dvs. f':s derivata, ges av f'' gånger den inre derivatan dvs. g'. Och vi hade redan fått ut en g' från första deriveringen från z till z'.

Juste, så blir det. Tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar