Partialbråksuppdelning- Varför blir det så?

I ditt förslag är visserligen produkten av nämnarna det som vi är ute efter, men det är minsta gemensamma nämnaren som är relevant när man adderar bråk, och din sista term tillför ingenting. Man kan ersätta dina två sista bråk med ett enda med B+C i täljaren. 

Laguna skrev:

I ditt förslag är visserligen produkten av nämnarna det som vi är ute efter, men det är minsta gemensamma nämnaren som är relevant när man adderar bråk, och din sista term tillför ingenting. Man kan ersätta dina två sista bråk med ett enda med B+C i täljaren. 

 Hur menar du?

$\frac{A}{(x-1)}+\frac{B+C}{(x-2{)}^2}$?

Tyvärr har jag ingen formelskrivare just nu, kanske kan komplettera med det sen, hur som helst:

Det här är en ganska bra övning som om man inte sett/gjort inte alls är speciellt obvious. En partialbråksuppdelning går ut på att ha ett polynom av en grad lägre i täljaren än i nämnaren. Du har alltså att din täljare till nämnaren (x-2)^2 är på formen Cx+D. Men efter som C och D är godtyckliga konstanter kan du lika gärna skriva C(x-2)+D, och eftersom denna täljare är en summa av 2 termer kan vi dela upp detta i 2 bråk, nämligen:

C(x-2)/(x-2)^2 och

D/(x-2)^2

Om du nu förenklar det första bråket får du alltså partialbråksuppdelningen:

C/(x-2) + D/(x-2)^2. Hängde du med på det?

lamayo skrev:

Laguna skrev:

...

Man kan ersätta dina två sista bråk med ett enda med B+C i täljaren. 

 Hur menar du?

$\frac{A}{(x-1)}+\frac{B+C}{(x-2{)}^2}$?

Nej. Laguna menar att de två sista termerna i ditt förslag, nämligen $\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-2}$, kan ersättas av $\frac{B+C}{x-2}$ (vanlig addition av två bråk med samma nämnare).

Moffen skrev:

Tyvärr har jag ingen formelskrivare just nu, kanske kan komplettera med det sen, hur som helst:

Det här är en ganska bra övning som om man inte sett/gjort inte alls är speciellt obvious. En partialbråksuppdelning går ut på att ha ett polynom av en grad lägre i täljaren än i nämnaren. Du har alltså att din täljare till nämnaren (x-2)^2 är på formen Cx+D. Men efter som C och D är godtyckliga konstanter kan du lika gärna skriva C(x-2)+D, och eftersom denna täljare är en summa av 2 termer kan vi dela upp detta i 2 bråk, nämligen:

C(x-2)/(x-2)^2 och

D/(x-2)^2

Om du nu förenklar det första bråket får du alltså partialbråksuppdelningen:

C/(x-2) + D/(x-2)^2. Hängde du med på det?

 Ja, tack så mycket! Nu klarnade det upp:) 

Men hur kommer det sig att man i partialbråksuppdelning vill ha täljaren en grad lägre än nämnaren?

Men hur kommer det sig att man i partialbråksuppdelning vill ha täljaren en grad lägre än nämnaren?

Det är ju det som partialbråksuppdelning går ut på - att göra ett krångligt bråk med en produkt som nämnare till en summa av enklare bråk. Exempelvis om man skall integrera så går det MYCKET bättre så. OM man har tur kan man få täljaren av lägre grad än ett steg mindre än nämnaren, men det är bäst att inte chansa på att det skall gå.

Smaragdalena skrev:

Men hur kommer det sig att man i partialbråksuppdelning vill ha täljaren en grad lägre än nämnaren?

Det är ju det som partialbråksuppdelning går ut på - att göra ett krångligt bråk med en produkt som nämnare till en summa av enklare bråk. Exempelvis om man skall integrera så går det MYCKET bättre så. OM man har tur kan man få täljaren av lägre grad än ett steg mindre än nämnaren, men det är bäst att inte chansa på att det skall gå.

 Okej, Tack så mycket!

Kommer med en till fråga här. 

Varför är det lättare att integrera om täljaren har lägre grad än nämnaren? Den ursprungliga funktionen har ju också lägre gradtal i täljaren men är ändå svår att integrera?

En summa av funktioner kan integreras term för term. En produkt av termer kan inte behandlas på samma sätt, och alltihop blir ännu värre med kvoter. Man kan ganska lätt integrera alla de funktioner man får fram vid partialbråksuppdelning.

Annorlunda uttryckt: Har du testat själv och jämfört?

Smaragdalena skrev:

En summa av funktioner kan integreras term för term. En produkt av termer kan inte behandlas på samma sätt, och alltihop blir ännu värre med kvoter. Man kan ganska lätt integrera alla de funktioner man får fram vid partialbråksuppdelning.

Annorlunda uttryckt: Har du testat själv och jämfört?

Ja, att det är svårt att integrera en produkt är jag med på. Men vad det är som gör att det blir enklare att integrera när täljaren är i lägre grad än nämnaren förstår jag inte riktigt. 

Vitsen är snarare att täljaren inte har högre grad än 2.

Smaragdalena skrev:

Vitsen är snarare att täljaren inte har högre grad än 2.

Okej, tack för hjälpen!