Partialbråksuppdelning, nämnare med komplexa rötter

Hej!

Jag undrar hur man ska partialbråksuppdela följande uttryck, där nämnaren har komplexa rötter.

Nämnarens rötter blir $x = - 2 \pm i$ . Exemplet i vårt kursmaterial visar bara hur man gör när man får $x = \pm a i$ (då behåller man ( $x^{2} + a^{2}$ )), men inte $x = b \pm a i$ . Hur ska man göra i detta fall?

Tips: kvadratkomplettera nämnaren och se om du kommer vidare.

Vad menar du? Den har inte komplexa rötter, rötterna är x = -1 och x = -3.

Om du hade haft en integral med de rötterna du nämner hade du inte kunnat lösa den med partialbråksuppdelning. Det skulle kräva kvadratkomplettering och variabelsubstitution, se nedan:

$\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 5} = \int \frac{d x}{{(x + 2)}^{2} + 1} = [\begin{matrix} u = x + 2 \\ d u = d x \end{matrix}] = \int \frac{d u}{u^{2} + 1} = \arctan (u) + C$

Ebola skrev:
Om du hade haft en integral med de rötterna du nämner hade du inte kunnat lösa den med partialbråksuppdelning. Det skulle kräva kvadratkomplettering och variabelsubstitution, se nedan:
$\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 5} = \int \frac{d x}{{(x + 2)}^{2} + 1} = [\begin{matrix} u = x + 2 \\ d u = d x \end{matrix}] = \int \frac{d u}{u^{2} + 1} = \arctan (u) + C$

Kan man verkligen inte partialbråksuppdela komplext? Trodde det gick, men att man inte brukar göra det bara.

Micimacko skrev:
Ebola skrev:
Om du hade haft en integral med de rötterna du nämner hade du inte kunnat lösa den med partialbråksuppdelning. Det skulle kräva kvadratkomplettering och variabelsubstitution, se nedan:
$\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 5} = \int \frac{d x}{{(x + 2)}^{2} + 1} = [\begin{matrix} u = x + 2 \\ d u = d x \end{matrix}] = \int \frac{d u}{u^{2} + 1} = \arctan (u) + C$
Kan man verkligen inte partialbråksuppdela komplext? Trodde det gick, men att man inte brukar göra det bara.

Jo, det kan man.

Laguna skrev:
Jo, det kan man.

Det skulle vara väldigt spännande att se en partialbråksuppdelning av:

$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$

Micimacko skrev:
Kan man verkligen inte partialbråksuppdela komplext? Trodde det gick, men att man inte brukar göra det bara.

Huruvida man kan eller inte beror helt på hur (Edit) täljaren ser ut. Ta detta exempel:

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Dubbelrot med multiplicitet 2 ger:

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} 1 = A (x + 1) + B A = 0 B = 1$

På grund av (Edit) täljaren producerade alltså denna partialbråksuppdelning enbart sig själv. Du kan alltid kontrollera partialbråksuppdelningar i wolfram alpha om du är osäker för att slippa förlora tid.

Ebola skrev:
Laguna skrev:
Jo, det kan man.
Det skulle vara väldigt spännande att se en partialbråksuppdelning av:
$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$

$\frac{1} {x + 2 + i} + \frac{1} {x + 2 - i}$

Laguna skrev:
Ebola skrev:
Laguna skrev:
Jo, det kan man.
Det skulle vara väldigt spännande att se en partialbråksuppdelning av:
$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$
$\frac{1} {x + 2 + i} + \frac{1} {x + 2 - i}$

Hur menar du nu? Vi får:

$\frac{1}{x + 2 + i} + \frac{1}{x + 2 - i} = \frac{x + 2 - i + x + 2 + i}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 5}$

En grej man kan göra däremot är:

$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{x + 2 - i} - \frac{1}{x + 2 + i})$

Men jag vet inte om man lär ut detta som standardteknik i envariabelanalys. Detta används främst när man lär sig Laplacetransformer.

Ebola skrev:
Laguna skrev:
Ebola skrev:
Laguna skrev:
Jo, det kan man.
Det skulle vara väldigt spännande att se en partialbråksuppdelning av:
$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5}$
$\frac{1} {x + 2 + i} + \frac{1} {x + 2 - i}$
Hur menar du nu? Vi får:
$\frac{1}{x + 2 + i} + \frac{1}{x + 2 - i} = \frac{x + 2 - i + x + 2 + i}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 5}$
En grej man kan göra däremot är:
$\frac{1}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{1}{2 i} (\frac{1}{x + 2 - i} - \frac{1}{x + 2 + i})$
Men jag vet inte om man lär ut detta som standardteknik i envariabelanalys. Detta används främst när man lär sig Laplacetransformer.

Nja, jag tog fram nämnarna och slutade där. Man måste förstås räkna ut rätt täljare också.

Laguna skrev:
Nja, jag tog fram nämnarna och slutade där. Man måste förstås räkna ut rätt täljare också.

Ja...

Som referens för Faxxi tas de komplexa täljarna fram enligt:

$\frac{1}{(x + 2 + i) (x + 2 - i)} = \frac{A}{x + 2 + i} + \frac{B}{x + 2 - i} 1 = A (x + 2 - i) + B (x + 2 + i)$

Du delar nu upp detta i realdel och imaginärdel vilket ger:

$A + B = 0 (- A + B) i = 1 A = - \frac{1}{2 i}; B = \frac{1}{2 i}$

Anledningen till att man inte lär sig detta (från vad jag vet) förrän senare är att integralen blir:

$\int \frac{d x}{x^{2} + 4 x + 5} = \frac{1}{2 i} \int \frac{d x}{x + 2 - i} - \frac{1}{2 i} \int \frac{d x}{x + 2 + i} = = \frac{1}{2 i} \ln (x + 2 - i) - \frac{1}{2 i} \ln (x + 2 + i) + C = = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{1 + i (x + 2)}{- 1 + i (x + 2)}) + C = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{\sqrt{{(x + 2)}^{2} + 1} e^{i \arctan (x + 2)}}{\sqrt{{(x + 2)}^{2} + 1} e^{i \arctan (- x - 2))}}) + C = = \arctan (x + 2) + C$

Vilket är lite mer omständligt än vad jag gjorde tidigare.

Ebola skrev:
Vad menar du? Den har inte komplexa rötter, rötterna är x = -1 och x = -3.

Ja, jag kvadratkompletterade och glömde visst upphöja tvåan ... Fånigt. Men det blev en intressant diskussion av det hela ändå, tack!

Svara

Visa senaste svar