Partialbråksuppdelning med x^(4)+16 i nämnaren

$x^4+16=x^4+8x^2+16-8x^2={(x^2+4)}^2-8x^2=(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)$

Sätt t = x² och lös andragradsekvationen. Byt tillbaka och lös de båda (komplexa) andragradsekvationerna. Kombinera ihop de komplexa rötterna på lämpligt sätt, så får du de båda faktorer som Smutsmunnen serverade.

Nu ska jag följa Smaragdalenas "recept". Jag vill gärna lära mig från grunden och förstå allt.

Sätter $t=x^2$och löser andragradsekvationen $t^2+16=0$.

$$\begin{gathered} t^2=-16 \\ \iff t=\pm \sqrt{-1·16} \\ \iff t=\pm \sqrt{-1}·\sqrt{16} \\ \iff t=\pm i·4, \end{gathered}$$

så $t_1=4i, t_2=-4i.$

Stämmer detta tycker ni?

Därefter ska jag byta tillbaka och lösa de båda komplexa andragradsekvationerna.

Jag måste fråga, vilka är de båda komplexa andragradsekvationerna.

Jag föreslår att $t=x^2=z^2$och sätter in $\pm 4i$

på en av platserna för $x^2$i $x^2·x^2+16=0.$

Då får jag de båda komplexa andragradsekvationerna

$z^2·4i+16=0$

och

$z^2·(-4i)+16=0.$

Är det dessa som ska lösa nu? Är jag rätt ute?

Vad gäller partialbråksuppdelningen ansätter jag

$\frac{5x+2}{x^4+16}=\frac{Ax+B}{(x^2+2\sqrt{2}·x+4)}+\frac{Ax+B}{(x^2-2\sqrt{2}·x+4)}.$

Vad du krånglar till det! Du har två andragradsekvationer du skal lösa: x² = 4i och x² = -4i. Hur löser du dem?

Återkommer imorgon

Kanelbullen skrev:

Vad gäller partialbråksuppdelningen ansätter jag

$\frac{5x+2}{x^4+16}=\frac{Ax+B}{(x^2+2\sqrt{2}·x+4)}+\frac{Ax+B}{(x^2-2\sqrt{2}·x+4)}.$

Ansatsen fungerar inte riktigt när du har samma A och B i båda bråken.

Laguna, jag märkte att ansatsen inte fungerade när jag skulle sätta bråken på samma nämnare och multiplicera in Ax + B i parenteserna. Jag fick då inte fram något riktigt ekvationssystem för att lösa ut A och B. 
Vilken ansats ska jag då ha? Vad ska det stå i täljarna?

Du har gjort rätt men det kan inte vara Ax+B på båda bråken, den andra kan exempelvis vara Cx+D.

Smaragdalena, ja, jag krånglade verkligen till det.

Så här gör jag:

Eftersom $t=x^2$

har vi 

$x^2=4i$ som ger lösningarna $\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{i}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{i}}.$

och

$x^2=-4i$ som ger lösningarna $\mathbf{2}\mathit{i}\sqrt{\mathbf{i}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{i}\sqrt{\mathbf{i}}.$

Du behöver förenkla $\sqrt{i}$. Rita in talet i i det komplexa talplanet och använd de Moivres formel.

Eller om du är lat kan du faktiskt använda rötterna så som de är skrivna och kombinera ihop rötterna två och två så att du får de två rötter som Laguna serverade dig. Använd dig av att (x-a)(x+a) = x²-a².

Smaragdalena skrev:

Du behöver förenkla $\sqrt{i}$. Rita in talet i i det komplexa talplanet och använd de Moivres formel.

Eller om du är lat kan du faktiskt använda rötterna så som de är skrivna och kombinera ihop rötterna två och två så att du får de två rötter som Laguna serverade dig. Använd dig av att (x-a)(x+a) = x²-a².

Jag tror inte jag serverade något den här gången.

Laguna skrev:

Smaragdalena skrev:

Du behöver förenkla $\sqrt{i}$. Rita in talet i i det komplexa talplanet och använd de Moivres formel.

Eller om du är lat kan du faktiskt använda rötterna så som de är skrivna och kombinera ihop rötterna två och två så att du får de två rötter som Laguna serverade dig. Använd dig av att (x-a)(x+a) = x²-a².

Jag tror inte jag serverade något den här gången.

Förlåt, jag mindes fel, det var Smutsmunnen som serverade.

Smaragdalena skrev:

Du behöver förenkla $\sqrt{i}$. Rita in talet i i det komplexa talplanet och använd de Moivres formel.

Eller om du är lat kan du faktiskt använda rötterna så som de är skrivna och kombinera ihop rötterna två och två så att du får de två rötter som Laguna serverade dig. Använd dig av att (x-a)(x+a) = x²-a².

Jag ritade in $\sqrt{i}$i det komplexa talplanet, så det hamnade på y-axelns positiva del.

Dock vet jag inte om $\sqrt{i}$ är mindre än eller lika med $\mathit{i}\mathbf{?}$

Jag har börjat så här:

$\sqrt{i}$skrivs på polär form

$\sqrt{\mathit{i}}\mathit{·}\mathit{\left(}cos\mathit{\right(}\pi \mathit{)}\mathit{+}i\mathit{ }\mathit{sin}\mathit{(}\mathrm{\pi }\left)\right).$

Antag nu att $x=r·\left(\cos \right(v)+i \sin (v\left)\right).$

Sen kommer jag inte längre med de Moivres formel för jag vet inte vilken exponent som $\mathit{x}$ ska ha?

Sen har vi det andra sättet, "den lata vägen". Där kommer jag inte heller ända fram. Jag får bara tillbaka de komplexa andragradsekvationerna som skulle lösas. Vad gör jag fel?

Ledning: vad blir i^2?

$i^2=-1$

Ska jag kombinera på detta sätt:

$$\begin{gathered} 2\sqrt{i}-2i, \\ 2i\sqrt{i}-2i\sqrt{i} \end{gathered}$$

och använda konjugatregeln? Men hur?

Jag skulle ha löst ekvationerna x² = 4i och x² = -4i genom att gå över till polära koordinater istället (och bytt tillbaka efteråt). Så som min hjärna är funtad är det mycket enklare, men alla behöver inte tänka precis som jag gör.

Jag hade löst det precis som  Smaragdalena, dvs använda mig av eulers formel eller De Moivres. Du kan om du vill också ansätta $t=x+iy$ och lösa det mha ekvsystem.

Jag hade löst det genom att faktorisera nämnaren.

Ärligt talat när ett polynom är ett binom, dvs bara två termer, finns alltid en enkel faktorisering mha konjugatregeln. 

Om polynomet har tre eller mer termer så måste man lösa ekvationen för att hitta rötterna, men två termer ---> enkel faktorisering.

Smutsmunnen skrev:

Jag hade löst det genom att faktorisera nämnaren.

Ärligt talat när ett polynom är ett binom, dvs bara två termer, finns alltid en enkel faktorisering mha konjugatregeln. 

Om polynomet har tre eller mer termer så måste man lösa ekvationen för att hitta rötterna, men två termer ---> enkel faktorisering.

Nu först läste jag ditt bidrag i början. Ett så enkelt trick, men jag har aldrig sett det förut.

Om man vill faktorisera t.ex. x⁸+256 behöver man gå den långa vägen för att få alla reella faktorer, verkar det som, men första steget blir lätt.

Jag har suttit och räknat ut lösningarna med hjälp av de Moivres formel och polära koordinater. Jag tänkte redovisa vad jag kommit fram till imorgon. Dock leder inte mina beräkningar fram till den önskade faktoriseringen,

Smutsmunnens faktorisering är smidig. Tack!

Det Smutsmunnen gör är elegant och smidigt men det är inte alltid man ser vad man ska lägga till och dra ifrån för att få den smidiga faktoriseringen, iallafall inte jag. Jag att du borde försöka ta dig dit utan det du fick av Smutsmunnen ifall du på ett prov får något liknande och inte kan se "tricket" så att säga. Jag visar dig ett exempel på hur det kan beräknas. 

Vi har att $z^2+4i=0$, vi gör ansatsen $z=x+iy$ och då får vi $(x+iy)^2+4i=0$ expanderar vi och snyggar upp HL lite får vi $(x^2-y^2)+i(4+2xy)=0$ och vi får följande ekvationssystem.
$(1): x^2-y^2=0$
$(2): 4+2xy=0$
Dessa ger nu att $x=\pm \sqrt{2}, y=\mp \sqrt{2}$, kom nu ihåg att $z=x+iy$ så vi får nu slutligen att $z_1=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i, z_2=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

z² = 4i. Argumentet är pi/2, beloppet är 4. Om vi drar roten ur så halverar vi vinkeln och drar roten ur beloppet, så den ena roten är $z=\sqrt2(1+i)$ och den andra $z=-\sqrt2(1+i)$. Gör på motsvarande sätt för de båda rötterna till ekvationen z² = -4i.

Dracaena skrev:

Det Smutsmunnen gör är elegant och smidigt men det är inte alltid man ser vad man ska lägga till och dra ifrån för att få den smidiga faktoriseringen, iallafall inte jag. Jag att du borde försöka ta dig dit utan det du fick av Smutsmunnen ifall du på ett prov får något liknande och inte kan se "tricket" så att säga. Jag visar dig ett exempel på hur det kan beräknas. 

Vi har att $z^2+4i=0$, vi gör ansatsen $z=x+iy$ och då får vi $(x+iy)^2+4i=0$ expanderar vi och snyggar upp HL lite får vi $(x^2-y^2)+i(4+2xy)=0$ och vi får följande ekvationssystem.
$(1): x^2-y^2=0$
$(2): 4+2xy=0$
Dessa ger nu att $x=\pm \sqrt{2}, y=\mp \sqrt{2}$, kom nu ihåg att $z=x+iy$ så vi får nu slutligen att $z_1=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i, z_2=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

Tack, Dracaena!

Kan du förklara hur du löser ekvationssystemet nedan? Jag hänger inte med riktigt där.

$$\begin{gathered} \left(1\right): x^2-y^2=0 \\ \left(2\right): 4+2xy=0 \end{gathered}$$

Jag skulle vilja prova att göra samma sak för $z^2=4i$.

Därefter prova Smaragdalenas sätt också.

Visst menar du att du snyggar upp lite i VL? 

När jag nu vet att faktorerna är $(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)$och gjort en ansats, har jag kunnat lösa partialbråksuppdelningen.

Jag har ansatsen

$\frac{5x+2}{x^4+16}=\frac{Ax+B}{(x^2+2\sqrt{2}x+4)}+\frac{Cx+D}{(x^2-2\sqrt{2}x+4)}$.

Sätter HL på samma nämnare, 

$\frac{Ax+B(x^2-2\sqrt{2}x+4)+Cx+D(x^2+2\sqrt{2}x+4)}{(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)}$

och multiplicerar in i parenteserna, vilket leder till

$=\frac{A-C(x^3+(-2\sqrt{2}A+B+2\sqrt{2}C+D\left(x^2\right)+(4A+2\sqrt{2}B+4C+2\sqrt{2}D(x\left)\right)+4B+4D}{(x^2+2\sqrt{2}x+4)(x^2-2\sqrt{2}x+4)}$.

Detta  ska nu vara lika med  $\frac{5x+2}{x^4+16}.$

Då ser vi genom vanlig identifiering att $x^3$-temerna och $x^2$-termerna är lika med noll, de "försvinner".

Vi får då ekvationssystemet:

$$\begin{gathered} A+C=0 \\ -2\sqrt{2}A+B+2\sqrt{2}C+D=0 \\ 4A-2\sqrt{2}B+4C+2\sqrt{2}D=5 \\ 4B+4D=2 \end{gathered}$$

Ekvationssystemet kan göras om till en matris och lösas med Gauss Jordan-eliminering.

$\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ -2\sqrt{2}& 1& 2\sqrt{2}& 1\\ 4& -2\sqrt{2}& 4& 2\sqrt{2}\\ 0& 4& 0& 4\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}0\\ 0\\ 5\\ 2\end{array}\right|$

Jag fick följande resultat:

$$\begin{gathered} A=\frac{\sqrt{2}}{16} \\ B=\frac{2-5\sqrt{2}}{8} \\ C=-\frac{\sqrt{2}}{16} \\ B=\frac{2+5\sqrt{2}}{8}. \end{gathered}$$

Insatt i $\frac{Ax+B}{(x^2+2\sqrt{2}x+4)}+\frac{Cx+D}{(x^2-2\sqrt{2}x+4)}$

fick jag

$\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{16}x+\frac{2-5\sqrt{2}}{8}}}{\mathbf{(}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}}\mathbf{+}\frac{(-\frac{\sqrt{2}}{16})\mathbf{x}\mathbf{+}{\displaystyle \frac{2+5\sqrt{2}}{8}}}{\mathbf{(}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{)}}.$

Även om jag nu klarat att lösa partialbråksuppdelningen vill jag fortsätta med arbetet att faktorisera nämnaren. Precis som Dracaena skrev, det kan komma tal att lösa där det inte fungerar med den metod som Smutsmunnen presenterade.

Jag vill också säga att jag verkar kunna förstå momentet med att lösa komplexa ekvationer.

Det som inte står klart för mig är hur jag sedan ska kunna kombinera ihop dem och få användbara faktoriseringar.

Tack för ert tålamod med mig.

Kanelbullen skrev:

Dracaena skrev:

Det Smutsmunnen gör är elegant och smidigt men det är inte alltid man ser vad man ska lägga till och dra ifrån för att få den smidiga faktoriseringen, iallafall inte jag. Jag att du borde försöka ta dig dit utan det du fick av Smutsmunnen ifall du på ett prov får något liknande och inte kan se "tricket" så att säga. Jag visar dig ett exempel på hur det kan beräknas. 

Vi har att $z^2+4i=0$, vi gör ansatsen $z=x+iy$ och då får vi $(x+iy)^2+4i=0$ expanderar vi och snyggar upp HL lite får vi $(x^2-y^2)+i(4+2xy)=0$ och vi får följande ekvationssystem.
$(1): x^2-y^2=0$
$(2): 4+2xy=0$
Dessa ger nu att $x=\pm \sqrt{2}, y=\mp \sqrt{2}$, kom nu ihåg att $z=x+iy$ så vi får nu slutligen att $z_1=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i, z_2=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$

Tack, Dracaena!

Kan du förklara hur du löser ekvationssystemet nedan? Jag hänger inte med riktigt där.

$$\begin{gathered} \left(1\right): x^2-y^2=0 \\ \left(2\right): 4+2xy=0 \end{gathered}$$

Jag skulle vilja prova att göra samma sak för $z^2=4i$.

Därefter prova Smaragdalenas sätt också.

Visst menar du att du snyggar upp lite i VL? 

Yes, jag menar självklart VL, miss av mig!

angående hur man löser ekvsystem, vi har att: 
$(1): x^2-y^2=0 \iff x^2=y^2$
$(2): 4+2xy=0 \iff x=\dfrac{2}{y}$
stoppa in (1) i (2) och då får vi $x^2=\dfrac{4}{y^2}$ men vi vet redan att $x^2=y^2$ och därför har vi nu att $y^2=\dfrac{4}{y^2} \iff y^4=4$ och trots att det finns 4 rötter, 2 reella och 2 komplexa vet vi att de komplexa är falska eftersom vi vet att x och y måste vara reella. detta leder till att vi endast bryr oss om de reella lösningarna, $y^2=\pm 2$, drar roten ur igen (du kan dra 4de roten direkt om du vill det), notera att -2 ger komplexa rötter så vi vet att den enda möjligheten är om $y^2=2$, detta ger nu slutligen att $y=\pm \sqrt{2}$, och nu kanske fråga duker upp, hur vet vi att $x=\mp \sqrt{2}$ om $y=\pm \sqrt{2}$, vi har ju trots att $x^2=y^2$, därför att (2) säger att $4+2xy=0$ och då blir vi begränsade. Du ser detta direkt om du stoppa in i ekvationen.

Smaragdalena skrev:

z² = 4i. Argumentet är pi/2, beloppet är 4. Om vi drar roten ur så halverar vi vinkeln och drar roten ur beloppet, så den ena roten är $z=\sqrt2(1+i)$ och den andra $z=-\sqrt2(1+i)$. Gör på motsvarande sätt för de båda rötterna till ekvationen z² = -4i.

Hej Smaragdalena! Jag har nu räknat på det sättet du visade och jag har använt De Moivres formel.

Jag fick rötterna

$$\begin{gathered} \left(1\right): \sqrt{2}(1+i) \\ \left(2\right):-\sqrt{2}(1-i) \\ \left(3\right):-\sqrt{2}(1-i) \\ \left(4\right):-\sqrt{2}(1+i) \end{gathered}$$

Jag noterar att (2) och (3) är samma. EDIT: Jag tror att jag gjort något slarvfel och återkommer med rättelser.

Nedan är mina beräkningar, rätta mig gärna om jag har fel någonstans. Tack.

Lösningarna borde vara

$$\begin{gathered} x^2=4i \\ x=\pm \sqrt{4i} \\ x=\pm (\sqrt{2}+\sqrt{2}i) \\ och \\ {x}^2=-4i \\ x=\pm \sqrt{(-4)i} \\ x=\pm (\sqrt{2}-\sqrt{2}i). \end{gathered}$$

Ja,  det stämmer att rötterna är $x=\pm(\sqrt{2}-\sqrt{2}i), x=\pm(\sqrt{2}+\sqrt{2}i)$, skriv nu på faktorform och kombinera dina rötter 2 och 2, kombinera inte två rötter som är varandras konjugat eftersom då kommer vi bara tillbaka till de binomiska ekvationerna du löste från början vilket inte är så hjälpsamt. 

Rötterna vi har är alltså

$$\begin{gathered} 1. (\sqrt{2}-\sqrt{2}i) \\ 2. -(\sqrt{2}-\sqrt{2}i) \\ 3. (\sqrt{2}+\sqrt{2}i) \\ 4.-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i) \end{gathered}$$

Enligt faktorsatsen motsvaras dessa av faktorerna

$$\begin{gathered} 1. (x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 2. (x+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 3. (x-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \\ 4. (x+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \end{gathered}$$

Jag ska ej kombinera ihop rötter som är varandras konjugat, dvs ej 1 och 3, eller 3 och 4 i uppräkningen ovan.

Jag kan t.ex. multiplicera ihop 1 och 4:

$(x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right)·(x+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right)$

och borde då få en av de två faktorerna som jag använt i nämnarna i partialbråksuppdelningen.

Men jag har problem med tecknen när jag multiplicerar ihop dessa parenteser.

T.ex. så får jag ideligen -4 i stället för 4, och gärna $-2\sqrt{2}i x eller 2\sqrt{2}i x i stället för -2\sqrt{2} x eller 2\sqrt{2} x.$

Har jag valt en bra kombination av rötter?

Har jag ställt upp faktorerna riktigt?

Kan någon visa mig hur jag enklast ska komma tillrätta med teckenproblemen när jag multiplicerar ihop faktorerna?

Kan jag skriva om faktorerna på något sätt? T.ex. nr 3, att $(x-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right)$ skulle kunna skrivas som $(x-\sqrt{2}-\sqrt{2}i)$? Då har jag tagit bort parentesen kring den andra termen i faktorn, och ändrat tecknet inne i parentesen eftersom det var ett minustecken framför. 

Det verkar som att det blir fel hur jag än räknar, så något har jag nog missförstått verkar det som.

Tacksam för hjälp.

Börjar ju närma mig slutmålet nu.

1 och 4 är inte en bra kombination. Du vill välja dina faktorer så att de är av formen (x+a)(x-a) så att det blir x²-a² enligt konjugatregeln. 

$$\begin{gathered} 1. (x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 2. (x+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 3. (x-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \\ 4. (x+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \end{gathered}$$

Smaragdalena, då blir 1 och 2, respektive 3 och 4 bra kombinationer.

Kolla!

$$\begin{gathered} \left(x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right))·(\left(x+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right)) \\ =x^2-{(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}^2 \end{gathered}$$

ska jag beräkna, men hur jag än gör så får jag inga bra resultat.

Ska jag använda kvadreringsregeln på ${(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}^2$?

Ja, naturligtvis, om du inte föredrar vanlig parentesmultiplikation - det fungerar också.

Det är också fullt möjligt att jag har tänkt fel om vilka kombinationer man skall välja.

$$\begin{gathered} 1. (x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 2. (x+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\left)\right) \\ 3. (x-(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \\ 4. (x+(\sqrt{2}+\sqrt{2}i\left)\right) \end{gathered}$$

För kombinationen 1 och 2 får jag resultatet $x^2+4i.$

Det är ett av binomen som vi löste komplex andragradsekvation för tidigare.

Så här gick jag tillväga:

$$\begin{gathered} \left(x-(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right))·(\left(x+(\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right)) \\ =x^2-{(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}^2 \end{gathered}$$

Jag använde kvadreringsregeln på ${(\sqrt{2}-\sqrt{2}i)}^2$och fick $(2-2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2}i)=-4i.$

Då tänkte jag fel när jag trodde att det var den bästa kombinationen. Vad får du om du kombinerar 1 och 2 respektive 1 och 4?

När jag kombinerar 1 och 4 får jag 

$x^2+2\sqrt{2}i x-4$.

Räknar jag rätt? Jag har verkligen försökt följa alla räkneregler.

Vad får ni andra när ni beräknar $(x-(\sqrt{2}-\sqrt{2} i\left)\right)·(x+(\sqrt{2}+\sqrt{2} i\left)\right)$?

Nu ska jag prova att kombinera 1 och 3 härnäst.

Hurra!

Där fick jag äntligen fram en av de reella faktorerna: $x^2-2\sqrt{2}x+4.$

Nu borde även 2 och 4 gå bra.

EDIT: Ja, kombinationen av 2 och 4 gav $x^2+2\sqrt{2}x+4.$

Man ska alltså kombinera ihop de rötter som är varandras konjugat.

Men man ska inte kombinera de faktorer som är varandras konjugat, efter att man skrivit rötterna på faktorform enligt faktorsatsen.

Så småningom kom jag fram till att det jag ville kombinera var x+a+bi och x+a-bi, respektive x-a+bi och x-a-bi. Då blir det (x+a)²-b²i² = (x+a)²+b² respektive (x-a)²+b² .

Det var smart tänkt Smaragdalena!

Jag är så glad att jag äntligen fick ihop det och att jag kunde multiplicera ihop parenteserna med alla plus- och minustecken på rätt sätt.

Tack för all hjälp!

Är det någon som förstår och kan förklara varför de fyra lösningarna som jag fick fram genom De Moivres formel (mina handskrivna uträkningar ovan) inte stämmer med de rätta fyra lösningarna som verkar vara de korrekta?

För nu har jag tittat igenom beräkningarna jag gjort på polär form, och jag kan inte hitta något fel.

Jag har uttryckt 4i och -4i  på polär form och därefter applicerat De Moivres formel för att finna lösningar.

Egentligen får jag vara nöjd med all den guidning jag har fått. Men det stör mig lite att jag inte kan komma på vad det är som göra att det blir olika.