Partialbråksuppdelning med x^3 i nämnaren

Du kanske ganska enkelt kan gissa till dig en rot, genom att prova med $x=0,x=\pm 1$ ?

Därefter kan du skriva om polynomet på formen:

$(x^3+1)=(x-x_1)(x^2+ax+b)$

Konstanterna $a$ och $b$ kan bestämmas antingen genom att multiplicera ihop polynomen och identifiera koefficienter eller genom polynomdivision.

Jag får att -1 är en rot i polynomet $x^3+1$ och då är x-(-1) = x+1 en faktor.

När jag utförde polynomdivisionen $\frac{x^3+1}{x+1}$ fick jag $x^2-x-1$och resten 2.

Vad gör jag nu med resten?

Du har dividerat polynomen fel; att polynomet $x+1$ är en faktor betyder att det inte finns någon rest vid polynomdivisionen. 

Det ska inte bli någon rest, dä har du dividerat fel. 

Precis, jag räknade fel. Kvoten blev $x^2-x+1$ när jag utförde polynomdivision.

Nu har jag alltså faktorerna $(x+1)(x^2-x+1)$

och så vill jag söka konstanterna A och B sådana att 

$s\left(x\right)=\frac{2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x^2-x+1)}$...

När nämnaren är ett andragradsuttryck behöver du ha ett uttryck Bx+C i täljaren.

Ja, jag förstod att det inte gick att göra precis som exemplet i läroboken för skulle jag följa det så får jag i täljaren

$A(x^2-x+1)+B(x+1)$

Men det blir alltså inte rätt?

Jag märker att jag kommer att få problem att A och B på detta sätt. Menar du att jag ska bestämma A, B och C när det är ett andragradsuttryck inblandat?

Men det ska bara partialbråksuppdels i två termer i detta fall, det känner jag till.

Behöver lite mer hjälp för att förstå det här :-)

Är det rätt att göra så här och hur kommer jag vidare?

$\frac{2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x^2-x+1)}$

Jag multiplicerar båda leden med $(x+1)(x^2-x+1)$ vilket blir 

$2=A(x^2-x+1)+ B(x+1)$.

Eller var ska Bx + C komma in i bilden?

Skriv Bx+C i stället för B i täljaren, och fortsätt sedan på samma sätt.

Hej!

Det finns tre konstanter $A$ och $B$ och $C$ sådana att ditt uttryck kan skrivas 

    $\frac{2}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$.

Steg 1. Multiplicera likheten med $x+1$, förkorta och sätt sedan $x=-1$ för att få $A = \frac{2}{1+1+1}$.

Steg 2. Sätt $x = 0$ för att få $\frac{2}{1\cdot 1} = A+\frac{C}{1}$ vilket ger konstanten $C$.

Steg 3. Sätt $x=1$ för att få $\frac{2}{2\cdot 1}=\frac{A}{2} + \frac{B+C}{1}$ vilket ger konstanten $B$.

Efter att ha utfört de tre stegen fick jag att $A=\frac{2}{3} , B=-\frac{2}{3} , C=\frac{4}{3}.$

Jag undrar varför man sätter x=-1 för att få A, x=0 för att få C och x=1 för att få B?

Första delen i partialbråksuppdelningen får jag till $\frac{2}{3(x+1)}$.

Andra delen är svårare. Bx=-$\frac{2}{3}$ och C=$\frac{4}{3}$ vilket ger något i stil med (men det är inte rätt):

$\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}}{x^2-x+1}$

För att besvara frågan om varför man sätter $x=-1$ för att få $A$, tänk på vad du gör när du följer mitt råd i Steg 1, istället för att endast följa rådet; då kommer du att förstå varför.

• Jag skrev att $A = \frac{2}{1+1+1}$ så det stämmer när du skriver att $A = \frac{2}{3}$.
• Med detta värde beräknas $C$ i Steg 2 till $2-A = C = \frac{4}{3}$.
• Med de tillgängliga talen $A$ och $C$ blir $B$ enligt Steg 3 lika med $B = 1-0.5A-C = -2/3$.

Partialbråksuppdelningen blir 

    $\frac{2}{3}\cdot\{\frac{1}{x+1} - (\frac{x-2}{x^2-x+1})\}.$

Kontrollera att detta stämmer genom att skriva på gemensam nämnare och förenkla; resultatet ska bli det ursprungliga uttrycket.

Jag tror att jag sätter x=-1 i steg 1 eftersom -1 är en rot till polynomet $x^3+1$.

I steg 2 sätter jag x=0 eftersom jag då får $\frac{C}{1}$ dvs. C helt fritt.

I steg 3 sätter jag x=1 eftersom jag då får $\frac{B}{1}$ dvs. B helt fritt.

Partialbråksuppdelningen är$\frac{2}{3}·\left\{\frac{1}{x+1}-\left(\frac{x-2}{x^2-x+1}\right)\right\} = \frac{2}{3x +3}-\frac{2x-4}{3x^2-3x+3}$

Jag kan givetvis kontrollera genom att sätta täljarna på samma bråkstreck och beräkna. Då får jag tillbaka det ursprungliga bråket.

$$\begin{gathered} \frac{2(3x^2-3x+3)-(2x-4)(3x+3)}{(3x+3)(3x^3-3x+3)}= \\ =\frac{6x^2-6x+6-(6x^2+6x-12x-12)}{9x^3-9x^2++9x+9x^2-9x+9}= \\ =\frac{18}{9x^3+9}=\frac{\mathbf{2}}{{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}\mathbf{1}} \end{gathered}$$

Det verkar stämma bra. Tack så mycket för all hjälp!