Partialbråksuppdelning med kvadratkomplettering

Tja!

Jag har en uppgift där jag ska finna primitiven till följande funktion:

$\int_{}^{} \frac{x - 3}{x^{2} + 2 x + 2} d x$

Har skrivit om funktionen enligt följande:

$\int_{}^{} \frac{(x + 1) - 4}{{(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Det jag inte förstår nu är hur jag ska dela upp bråket. Ska 1:an som ligger utanför parenteserna i nämnaren följa med? Hur påverkar det isådanafall en partialbråksuppdelning och hur genomförs PBU:n?

Kollade även (den ofullständiga) lösningen för att förstå eller få ledtrådar och där får de att $\frac{1}{2} \ln ({(x + 1)}^{2} + 1) - 4 a r c \tan (x + 1)$ vilket förvirrar mig. Vore hjälpsamt med förklaringar och hjälp på traven!

Vad är derivatan av nämnaren? Du kan manipulera täljaren så att nämnarens derivata dyker upp.

jamolettin skrev:
Vad är derivatan av nämnaren? Du kan manipulera täljaren så att nämnarens derivata dyker upp.

Derivatan borde vara 2x+2, men hur menar du att jag ska manipulera täljaren? Och hur ska jag utnyttja det i sin tur för att finna primitiven till funktionen?

Jo, om täljaren hade varit exakt nämnarens derivata, då hade ju den primitiva funktionen varit

ln|nämnaren| + C

Är du med på det?

Så om du manipulerar täljaren så att nämnarens derivata dyker upp så är du nästan klar.

Efter lite trixande så kommer täljaren att kunna skivas som

derivatan + en konstant.

Dela upp bråket. Då har du en term som blir ett ln-uttryck och den andra termen (efter kvadratkomplettering i nämnaren) blir ett arctangens-uttryck.

Svara

Visa senaste svar