Partialbråksuppdelning med faktorerna (x+1)(x+1)

Nu ska jag utföra en partialbråksuppdelning och tänkte att det här verkar lätt! Men stötte ändå på problem.

Uppgiften är att partialbråksuppdela

$\frac{4 x - 3}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

Jag börjar med att dela upp uttrycket i två faktorer med A respektive B i täljaren:

$\frac{4 x - 3}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ .

Handpåläggningsmetoden verkar inte fungera eftersom den gör att jag får 0 i nämnaren. Det stämmer väl?

Då provar jag med att bestämma A och B genom att skriva om högerledet på samma nämnare:

$\frac{A (x + 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{(A + B) x + A + B}{(x + 1) (x + 1)}$ .

Täljarna ska nu vara lika:

(A+B)x + A+ B = 4x - 3.

Men detta resulterar för mig i ett besynnerlig ekvationssystem:

$\{\begin{cases} A + B = 4 \\ A + B = - 3 . \end{cases}$

Detta kan ju inte stämma!! Var har jag gjort fel och hur kan jag lösa ut A och B?

Prova ansatsen $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^{2}}$ . Du kan inte tänka på "vanligt" vis när du har $(x + a)^{n}, n \geq 2$ , i nämnaren.

Okej, då ska vi se om jag förstått rätt.

Nu fick jag en $x^{2}$ -term också, så jag blev lite osäker på om jag kanske ha krånglat till det i onödan.

Så här gjorde jag:

$\frac{A (x + 1)^{2} + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)^{2}} = \frac{A (x^{2} + 2 x + 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)^{2}} = \frac{A x^{2} + 2 A x + A + B x + B}{(x + 1) (x + 1)^{2}} =$ $\frac{A x^{2} - (2 A + B) x + A + B}{(x + 1) (x + 1)^{2}}$

Ska jag utifrån detta stämma av att täljaren 4x-3 stämmer med $A x^{2} - (2 A + B) x + A + B$ ?

Du behöver bara två faktorer x+1 i nämnaren.

$\frac{A x^{2} + (2 A + B) x + A + B}{(1 + x) (1 + x)}$

Så då skulle ovanstående vara rätt?

Har jag alltså gjort rätt i täljaren? Och hur gör jag med $x^{2} - t e r m e n ?$

Jag gissar att om jag jämför det som står i täljaren i bråket som ska uppdelas, dvs 4x-3, med vad jag fått fram i täljaren här, så får jag ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} A = 0 \\ 2 A + B = 4 \end{array} \\ \begin{array}{l} A + B = - 3 \end{array} \end{cases}$

Det finns ju ingen $x^{2}$ -term i den ursprungliga täljaren. Det finns en 4 som x-term. Det finns -3 som konstant-term.

Men det verkar inte heller vara ett ekvationssystem som år att lösa.

Om du använder ansatsen som Matte357 skrev och förlänger allt med $(x+1)^2$ så får du ekvationen 4x-3=A(x+1)+B. Vilket ekvationssystem får du då?

Jag får

A=4

A+B=-3

vilket är ekvivalent med

A=4

B=-7.

Då skulle det rätta sättet att partialbråksuppdela uttrycket bli

$\frac{4}{x + 2} - \frac{7}{(x + 1)^{2}}$ .

Jag har räknat ihop det och fått det ursprungliga uttrycket igen, så det verkar vara korrekt.

Tack för hjälpen.

Svara

Visa senaste svar