Partialbråksuppdelning

Jo du ska göra en ansats

När du har faktorer av första graden i nämnaren, som (x-1) ansätter du a/(x-1)

När du har förstagradsfaktorer i kvadrat som (x-2)² ansätter du två partialbråk, b/(x-2) och c/(x-2)²

När du har ett andragradsuttryck i nämnaren ansätter du ett förstagradspolynom i täljaren, i ditt fall: (dx+e)/(x²-1)

så din ansats borde vara

$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{{(x-2)}^2}+\frac{dx+e}{x^2-1}$=$\frac{5x^4-17x^3+22x^2-8x+4}{(x-1){(x-2)}^2(x^2-1)}$

Sen är det "bara" att lösa ut vad a,b,c,d och e är.

Har du lärt dig hur man gör det på mest rationellt sätt?

Tillägg: 11 okt 2023 17:10

står i fel i en parentes i nämnarna, står x²-1 ska vara x²+1

Ture skrev:

Jo du ska göra en ansats

När du har faktorer av första graden i nämnaren, som (x-1) ansätter du a/(x-1)

När du har förstagradsfaktorer i kvadrat som (x-2)² ansätter du två partialbråk, b/(x-2) och c/(x-2)²

När du har ett andragradsuttryck i nämnaren ansätter du ett förstagradspolynom i täljaren, i ditt fall: (dx+e)/(x²-1)

så din ansats borde vara

$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{{(x-2)}^2}+\frac{dx+e}{x^2-1}$=$\frac{5x^4-17x^3+22x^2-8x+4}{(x-1){(x-2)}^2(x^2-1)}$

Sen är det "bara" att lösa ut vad a,b,c,d och e är.

Har du lärt dig hur man gör det på mest rationellt sätt?

Bör jag förlänga täljarna? Så te.x att A= A$\left(x-2\right){\left(x-2\right)}^2\left(x^2+1\right)$

Du ska göra liknämnigt på vänstra sidan

Ture skrev:

Du ska göra liknämnigt på vänstra sidan

Hur då?

Ungefär som du föreslog, förlänga, men inte med alla nämnarna, men de flesta. 

Ture skrev:

Ungefär som du föreslog, förlänga, men inte med alla nämnarna, men de flesta. 

Okej, hur vet man vilka man ska förlänga med?

varje term i vänsterledet ska ha samma nämnare som bråket i HL.

Förläng alltså med de faktorer som saknas i var och en av termerna i VL

Ture skrev:

varje term i vänsterledet ska ha samma nämnare som bråket i HL.

Förläng alltså med de faktorer som saknas i var och en av termerna i VL

Så för A då t.ex. borde det bli A(x-2${)}^2$($x^2+1)$?

lizzy skrev:

Ture skrev:

varje term i vänsterledet ska ha samma nämnare som bråket i HL.

Förläng alltså med de faktorer som saknas i var och en av termerna i VL

Så för A då t.ex. borde det bli A(x-2${)}^2$($x^2+1)$?

jajamensan,

gör på motsvarande sätt för alla termer, men tänk efter lite innan du börjar råräkna, det går att få ut vissa av konstanterna ganska enkel. 

Ture skrev:

lizzy skrev:

Visa föregående citat

Ture skrev:

varje term i vänsterledet ska ha samma nämnare som bråket i HL.

Förläng alltså med de faktorer som saknas i var och en av termerna i VL

Så för A då t.ex. borde det bli A(x-2${)}^2$($x^2+1)$?

jajamensan,

gör på motsvarande sätt för alla termer, men tänk efter lite innan du börjar råräkna, det går att få ut vissa av konstanterna ganska enkel. 

Jag har nu fått detta till $\frac{A{(x-2)}^2(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)}{}$$\frac{+C(x^2+1)(x-1)+Dx+E(x-1){(x-2)}^2}{}$

lizzy skrev:

Ture skrev:

Visa föregående citat

lizzy skrev:

Ture skrev:

varje term i vänsterledet ska ha samma nämnare som bråket i HL.

Förläng alltså med de faktorer som saknas i var och en av termerna i VL

Så för A då t.ex. borde det bli A(x-2${)}^2$($x^2+1)$?

jajamensan,

gör på motsvarande sätt för alla termer, men tänk efter lite innan du börjar råräkna, det går att få ut vissa av konstanterna ganska enkel. 

Jag har nu fått detta till $\frac{A{(x-2)}^2(x^2+1)+B(x-1)(x^2+1)}{}$$\frac{+C(x^2+1)(x-1)+Dx+E(x-1){(x-2)}^2}{}$

Oj allt kom inte med, men det där delat i (x-1)(x-2${)}^2$$\left(x^2+1\right)$.

Sen måste jag väl få till ett ekvationssytem. Ha börjat såhär:

$A(x^4-4x^3+5x^2-4x+4) + B(x^3+x-x^2-1) + C(x^3-x^2+x-1)$$+Dx+E(x^3-5x^2+8x-4)$

Jag har inte kollat dina siffror men iden är ok.

$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{{(x-2)}^2}+\frac{dx+e}{x^2+1}$=$\frac{5x^4-17x^3+22x^2-8x+4}{(x-1){(x-2)}^2(x^2+1)}$

Efter förlängning och förenkling får du 

$$\begin{gathered} a{(x-2)}^2(x^2+1)+b(x-1)(x-2)(x^2+1)+ \\ +c(x-1)(x^2+1)+(dx+e)(x-1){(x-2)}^2 = \\ 5x^4-17x^3+22x^2-8x+4 \end{gathered}$$

man kan ta lite genvägar, i just detta fall är det lite elaka siffror men en av konstanterna får vi lätt fram:

ekvationen  ska gälla för alla x, det kan finnas värden på x som ger enkla samband

vad får du om du sätter x = 2? x = 1 ger också en bra hjälp på vägen

i övrigt är det nog bara att skapa ett ekvationssystem från det du kom fram till i ditt inlägg.

och lösa det.

Edit Jag har skrivt fel tecken i tidigare inlägg i faktorn (x²+1) Nu korrigerat i detta inlägg, bara kommenterat i tidigare...

Ture skrev:

Jag har inte kollat dina siffror men iden är ok.

$\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{{(x-2)}^2}+\frac{dx+e}{x^2+1}$=$\frac{5x^4-17x^3+22x^2-8x+4}{(x-1){(x-2)}^2(x^2+1)}$

Efter förlängning och förenkling får du 

$$\begin{gathered} a{(x-2)}^2(x^2+1)+b(x-1)(x-2)(x^2+1)+ \\ +c(x-1)(x^2+1)+(dx+e)(x-1){(x+2)}^2 = \\ 5x^4-17x^3+22x^2-8x+4 \end{gathered}$$

man kan ta lite genvägar, i just detta fall är det lite elaka siffror men en av konstanterna får vi lätt fram:

ekvationen  ska gälla för alla x, det kan finnas värden på x som ger enkla samband

vad får du om du sätter x = 2? x = 1 ger också en bra hjälp på vägen

i övrigt är det nog bara att skapa ett ekvationssystem från det du kom fram till i ditt inlägg.

och lösa det.

Edit Jag har skrivt fel tecken i tidigare inlägg i faktorn (x²+1) Nu korrigerat i detta inlägg, bara kommenterat i tidigare...

Har fått ett ekvationssytem nu men ingen aning ifall det blivit rätt. Har skrivit:

A+b+c=5

-4a-3b+c+e=-17

5a+3b-c-5e=22

-4a-3b+c+d-8e=-8

4a+2b-c-4e=4

jag förstår vad du menar, det är väldigt lätt att göra ngt litet slarvfel, och väldigt svårt att upptäcka det, eftersom man blir helt blind och bara läser det man tror att det står, inte vad det faktiskt står.

Om du utnyttjar det tips jag försökte förmedla i mitt förra inlägg, och dessutom gör rätt, vilket jag inte hade gjort, nu korrigerat, så kan man lätt bestämma faktorerna a och c

om x = 1 får vi

a(1-2)²(1²+1) + 0 +0+0 = 5*1⁴-15*1³ +22*1² -8*1 +4 => 

2a = 5-15+22-8+4 => a = 4

om x = 2 får vi

c(2-1)(4+1) = 5*16-17*8+22*4-8*2+4 =>

c = 4

Ture skrev:

jag förstår vad du menar, det är väldigt lätt att göra ngt litet slarvfel, och väldigt svårt att upptäcka det, eftersom man blir helt blind och bara läser det man tror att det står, inte vad det faktiskt står.

Om du utnyttjar det tips jag försökte förmedla i mitt förra inlägg, och dessutom gör rätt, vilket jag inte hade gjort, nu korrigerat, så kan man lätt bestämma faktorerna a och c

om x = 1 får vi

a(1-2)²(1²+1) + 0 +0+0 = 5*1⁴-15*1³ +22*1² -8*1 +4 => 

2a = 5-15+22-8+4 => a = 4

om x = 2 får vi

c(2-1)(4+1) = 5*16-17*8+22*4-8*2+4 =>

c = 4

Okej tack för din hjälp! Jag förstår den biten, har dock fortfarande svårt att förstå hur jag ska komma vidare från det. Fick dock att a=3

hur ska jag kunna sätta upp ett ekvationssystem?

Du hade kommit fram till det här:

Sen måste jag väl få till ett ekvationssytem. Ha börjat såhär:

$A(x^4-4x^3+5x^2-4x+4) + B(x^3+x-x^2-1) + C(x^3-x^2+x-1)$$+Dx+E(x^3-5x^2+8x-4)$

= 5x⁴−17x³+22x² -8x+4

Du måste ha lika många x⁴ på bägge sidor

alltså A = 5

Lika många x³ på bägge sidor vilket ger

A*(-4) + B*1 + C*1 +E*1 = -17

osv,

Som du ser fick vi nu ett tredje förslag på vad A kan vara... Nånstans har vi räknat fel.

Hoppas det är klarar nu hur du räknar vidare.