5 svar

187 visningar

Partialbråksuppdelning

Har vridit och vänt på detta begrepp partialbråksuppdelning som är en del i att hitta primitiva funktioner till bråk.

Tar som exempel en uppgift

$\frac{1}{x^{2} - 4}$

Börjar med att faktorisera nämnaren

$\frac{1}{(x - 2) (x + 2)}$

Sen ska ju detta delas in i partialbråk

$\frac{1}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{A}{(x - 2)} + \frac{B}{(x + 2)}$

Förlänger och förkortar med MGN

$\frac{A (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{B (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)}$

1 = $A (x + 2) + B (x - 2)$

Sen om jag förstått rätt så ska man beräkna parenteserna

1 = $A x + A 2 + B x - B 2$

Men sen tar det stopp, vet inte hur jag ska ta mig vidare när det är en konstant i VL

Har sett något exempel där läraren räknar antalet A, B och C kopplade till varje gradterm x^2, x och konstant, så då borde det väl bli typ:

För x^2, A + B = 0

För x, A+ B = 0

För konstant = A+ B = 1 ??

Som jag förstått så vill man ta reda på vad A respektive B är.

Har även sett att man kan använda s.k. handpåläggning, dvs man ser när nämnaren blir 0 för varje respektive term, men det fungerar inte alltid, och känner att det kan vara bra att kunna det andra sättet också. Det kanske är onödigt i detta fall när det bara finns en konstant i VL??

Tittar man på

$\frac{A}{x - 2}$

Får man nämnaren 0 om x = 2, vilket om jag förstått gör att A = 2?

Och samma sak blir då B = -2

Du gör fel på första raden, nämnaren går inte att faktorisera!

Det här är en standardfunktion, Titta i någon formelsamling så hittar du primitiv. Tror det är arctan …

Nu såg jag att det ska vara x^2-4 inte x^2 + 4. Borde väl gå att faktorisera då?

Facit anger att man ska faktorisera och partialbråksuppdela.

Jag tycker du verkar ha koll på hur man ställer upp metoden, däremot har du skrivit fel för för konstanta termen: 2A-2B=1 och x^2-termen: 0=0 (eftersom det inte finns någon x^2-term varken i högerled eller vänsterled

Det hade kanske blivit enklare om du sorterat de olika termerna som

0x+1 = x(A+B) +2A -2B

och här blir det kanske enklare att identifiera de olika termerna?

Du verkar ha förstått handpåläggning helt fel. Det du vill göra är att gångra på en nämnare på båda sidor om ekvationen och stoppa in ett tal så att den blir 0, och sen läsa av A eller B.

Börjar med att gångra på (x-2):

1/(x-2)(x+2)=A/(x-2) + B/(x+2)

1/(x+2)=A + B(x-2)/(x+2)

Sen stoppar man in 2 för att bli av med B

så blir det bara 1/4=A kvar.

Testa göra likadant och gångra på den andra nämnaren på ursprungsekvationen för att bestämma B.

Ah, så då blir det

1/(x-2) = A(x+2)/(x-2) + B

Sätter x = -2 vilket tar bort A och ger att B = -1/4

Sen ska det sättas in i ekvationen

Så vi får

$\frac{1}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{\frac{1}{4}}{(x - 2)} + \frac{- \frac{1}{4}}{(x + 2)}$

$\frac{1}{(x - 2) (x + 2)} = (\frac{1}{4} \frac{1}{(x - 2)}) - (\frac{1}{4} \frac{1}{(x + 2)})$

Vars HL integreras till

$\frac{1}{4} \ln (x - 2) - \frac{1}{4} \ln (x + 2)$

Vilket enligt facit ska förkortas till $\frac{1}{4} \ln (\frac{x - 2}{x + 2})$

Med reservation för att jag glömde sätta ut integrationstecken....

Svara

Visa senaste svar