Partialbråksuppdelning, 3 faktorer i nämnaren

Har du någon fråga?

Ja, det kommer frågor, jag råkade skicka iväg innan jag var helt klar.

Polynomdivision gav faktorn $x^2+x-6$ som jag då antar ska faktoriseras i två faktorer så att jag har tre sammanlagt. Stämmer det?

När nämnaren är ett andragradsuttryck behövs i täljaren ett uttryck A, ett uttryck Bx + C, t.ex.

$\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$.

Hur blir det då när nämnaren är ett tredjegradsuttryck?

Jag vet att jag ska ha tre faktorer, men hur ska de tre bråken vara uppdelade, vad kommer att finnas i de tre olika täljarna?

En gissning kunde vara $A, B{x}^2, Cx+D$. Men jag vet inte om detta är rätt?

Om du faktoriserar $x^2+x-6$ med hjälp av dess nollställen $x_1$ och $x_2$ som $(x-x_1)(x-x_2)$ kan du partialbråksuppdela enligt:

$\dfrac{-9x+7}{x^3+2x^2-5x-6}=\dfrac{-9x+7}{(x+1)(x-x_1)(x-x_2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-x_1}+\dfrac{C}{x-x_2}$

Eftersom samtliga nämnare är linjära går det relativt enkelt att bestämma $A$, $B$ och $C$ med handpåläggningsmetoden.

Nu har jag listat ut de tre faktorerna som är

(x+1)(x-2)(x+3).

Hur vet jag i vilken ordning jag ska ställa den i partialbråksuppdelningen?

Vilken hör till termen med A i täljaren, osv?

Man kan alltid partialbråksuppdela så att nämnarna är av antingen första eller andra graden. Om ditt andragradspolynom saknar reella rötter får du näja dig med ett andragradspolynom

Om du har ett förstagradspolynom i nämnaren skall täljaren vara en konstant. Om du har ett andragradspolynom i nämnaren blir det ett linjärt uttryck i täljaren. Om du har dubbel-(eller ännu fler)rötter, behöver du ta hänsyn till detta, men det står säkert i din lärobok.

En anledning till att partialbråksuppdela uttryck är om man behöver integrera ett rationellt uttryck. De är inte roligt att försöka hitta en primitiv funktion till ett krångligt rationellt uttryck - det är betydligt enklare att integrera en summa av bråk som är högst av andra graden.

Ja, nu förstår jag, det blev ju linjära uttryck i samtliga nämnare (alla tre faktorer är förstagradspolynom) och då behöver jag bara A, B och C. Jag tänkte lite fel där.

Då kan jag ställa upp det ursprungliga bråket (fast med nämnaren faktoriserad) plus partialbråksuppdelningen så långt som jag har kommit:

$s\left(x\right)=\frac{-9x+7}{(x+2)(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3.}$

För att finna värdena för A, B och C vill jag minnas att jag skulle skriva om högerledet på samma nämnare. Stämmer det?

Och har jag gjort rätt så här långt? 

Jag vill gärna veta om jag tänkt fel eller om det är något annat jag bör ha i åtanke.

Det räcker att du multiplicerar HL med alla tre nämnarna. Då får du ett ruskigt uttryck i högerledet, där du kan jämföra koefficienterna för x2-termen, x-termen och konstanttermen med 0, -9 respektive 7 och göra ett ekvationssystem för att ta fram dina värden på A, B respektive C.

När man har linjära nämnare finns en genväg som gör att man slipper krångliga ekvationssystem, handpåläggningsmetoden!

https://sv.wikipedia.org/wiki/Partialbr%C3%A5ksuppdelning#Handpåläggning

Lär dig den, den kommer att spara dig mycket tid.

Jag letade efter den, men det funkade inte med "handpåläggningsmetoden" på Wikipedia! Och "handpåläggning" handlade om religion.

Tack!

Jag vill försöka använda handpåläggningsmetoden och det står så här på Wikipedia:

”Istället för att identifiera koefficienter, så kan man sätta in olika värden på x som gör de olika faktorerna lika med noll, för varje sådant värde multiplicerar man båda leden med den motsvarande faktorn som man valt för att just eliminera denna faktor. I exemplet ovan skulle det ge koefficienterna.”

De olika faktorerna som jag har är 

(x+1), (x-2) och (x+3).

Då vet jag att de olika värdena på x som jag ska sätta in är -1, 2 och -3.

Okej, hur vet jag nu vilken jag ska börja med? A, B eller C?

Jag förstår nu att jag ska skriva t.ex.

$B=\frac{-9x+7}{en av faktorerna, vilken?}$, och att jag ska sätt kan ett värde för x, ett av de tre -1, 2, eller -3.

Hur ska jag veta vad jag ska välja?

Jag har verkligen suttit och försökt utifrån exemplet på Wikipedia, men det går ändå inte att förstå för mig.

Lisa Mårtensson skrev:

Jag vill försöka använda handpåläggningsmetoden och det står så här på Wikipedia:

”Istället för att identifiera koefficienter, så kan man sätta in olika värden på x som gör de olika faktorerna lika med noll, för varje sådant värde multiplicerar man båda leden med den motsvarande faktorn som man valt för att just eliminera denna faktor. I exemplet ovan skulle det ge koefficienterna.”

De olika faktorerna som jag har är 

(x+1), (x-2) och (x+3).

Då vet jag att de olika värdena på x som jag ska sätta in är -1, 2 och -3.

Okej, hur vet jag nu vilken jag ska börja med? A, B eller C?

Jag förstår nu att jag ska skriva t.ex.

$B=\frac{-9x+7}{en av faktorerna, vilken?}$, och att jag ska sätt kan ett värde för x, ett av de tre -1, 2, eller -3.

Hur ska jag veta vad jag ska välja?

Jag har verkligen suttit och försökt utifrån exemplet på Wikipedia, men det går ändå inte att förstå för mig.

Enligt ett tidigare inlägg hör B ihop med faktorn x-2. Då ska du låta x vara 2. Och i nämnaren ska du ha alla faktorerna utom x-2.

Jag har  $\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+3}$. 

Då är värdena som jag ska sätta in för att få A, B och C -1, 2 och -3.

A hör ihop med faktorn (x+1) och då ska jag låta x vara -1. I nämnaren ska jag ha faktorerna

(x-2) och (x+3):

$A=\frac{(-9)·(-1)+7}{\left(\right(-1)-2)·\left(\right(-1)+3)}=\frac{16}{(-3)·2}=-\frac{16}{6}$. EDIT -16/6 blir förkortat -8/3.

B hör ihop med faktorn (x-2) och då ska jag låta x vara 2. I nämnaren ska jag ha faktorerna (x+1) och (x+3):

$B=\frac{-9x+7}{(x+1)(x+3)}=\frac{(-9)·2+7}{3·5}=\frac{-18+7}{15}=-\frac{11}{15}$.

C hör ihop med faktorn (x+3) och då ska jag låta x vara -3. I nämnaren ska jag ha faktorerna (x+2) och (x-2).

$C=\frac{(-9)·(-3)+7}{\left(\right(-3)+1)+(-3)(-2))}=\frac{34}{(-2)·6}=-\frac{17}{6}$.

Då har vi att 

$A=-\frac{16}{6}, B=-\frac{11}{15 } och C=-\frac{17}{6}.$ 

Kan det vara en idé att skriva alla tre med samma nämnare?

I så fall blir det $A=-\frac{80}{30}, B=-\frac{22}{30} och C=-\frac{85}{30}.$

Verkar jag ha gjort rätt?

Nu ska jag pröva att sätta in dessa värden för A, B och C i de tre bråken.

Behöver jag ha samma nämnare på A, B och C? Nu vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare...

Du är väl egentligen klar (förutsatt att alla siffror blev rätt, jag har inte kollat), men med samma nämnare kan du skriva 1/30 gånger summan av de tre bråken, där de har heltalstäljare, och det kanske är snyggare. 

Tack Laguna, jag förstår precis hur du menar. Tyvärr verkar jag ha räknat fel eller uttrycker svaret på ett sätt som inte går hem i det digitala svarsformuläret. Men jag återkommer när jag fått det hela rätt.

$-\frac{16}{6}$ kan förkortas mer.

Ja, det blir -8/3, men hjälper det när jag har övriga värden på B och C som inte kan förkortas?

Jag tänkte mig att det skulle vara bra att ha samma nämnare för värdena på A, B och C. Behöver man kanske inte det?

Ska jag i stället utgå från A=-8/3, B=-11/5 och C=-17/6?

Såna där automatiska formulär är ofta dåligt gjorda. Hur mycket får du veta om hur du ska skriva? Kan du ta en bild av formuläret? 

När jag svarade på en tidigare uppgift och fick rätt så gick det bra att skriva så här:

Nu har jag kollat dina siffror, och C är fel. Du har råkat skriva (-3)(-2) och sedan räknat ut det, men det ska stå (-3-2), så C blir 17/5.

Ett sätt att kolla är att testa med några enkla x som inte har använts förut, t.ex. 0 och 3.

Tack Laguna. Då kan jag skriva

A= -16/6=-40/15

B=-11/15

C=17/5=51/15

$$\begin{gathered} \frac{1}{15}·\left\{-\left(\frac{40}{x+1}\right)-\left(\frac{11}{x-2}\right)\right.+\left.\left(\frac{{\displaystyle 51}}{{\displaystyle x+3}}\right)\right\}= \\ =-\frac{40}{15x+15}-\frac{11}{15x-30}+\frac{51}{15x+45} \end{gathered}$$