Partialbråksuppdelning

Du ska bestämma konstanterna för alla x så det är orimligt att ansätta ett värde för att lösa ekvationerna. När du gör sådana här saker bör du åtminstone även bestämma konstanterna med gausselimination för att försäkra dig om att det fungerar till första gradens säkerhet. Du sitter inte på tentan nu så det är inte nu du ska vara lat och testa nya tekniker i hopp om att de fungerar utan att verifiera.

Om vi tittar på vad du har får vi:

$1=x^3(A+C)+x^2(A+B-C+D)+x(-A+2B-C-2D)-A+B-C+D$

Detta ger ett ekvationssystem med fyra ekvationer och fyra okända:

$\left\{\begin{array}{l}A+C=0\\ A+B-C+D=0\\ -A+2B-C-2D=0\\ -A+B-C+D=1\end{array}\right.$

Detta löses enkelt genom inspektion och vi får:

$A=-\frac{1}{2};\hspace{0.17em}B=C=D=\frac{1}{2}$

Vi dubbelkollar nu att det stämmer enligt:

$$\begin{gathered} \frac{-1/2}{(x-1)}+\frac{1/2}{{(x-1)}^2}+\frac{1/2}{(x+1)}+\frac{1/2}{{(x+1)}^2}= \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{1-x}{{(x-1)}^2}+\frac{1}{{(x-1)}^2}+\frac{x+1}{{(x+1)}^2}+\frac{1}{{(x+1)}^2}\right]= \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{(2-x){(x+1)}^2}{{(x-1)}^2{(x+1)}^2}+\frac{(x+2){(x-1)}^2}{{(x-1)}^2{(x+1)}^2}\right]= \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{-x^3+3x+2+x^3-3x+2}{{(x-1)}^2{(x+1)}^2}\right]= \\ =\frac{1}{{(x-1)}^2{(x+1)}^2} \end{gathered}$$

Således har vi verifierat att i den partialbråksuppdelningen du formulerade är de konstanter du räknade ut fel och de som gausselimination eller enkel inspektion gav är korrekta.

Tack så mycket Ebola. Så man får alltså inte göra så jag gjorde i alla fall när jag satte x= 1 och x=-1 ? För om det var en lättare integral så kunde man lösa den med den där metoden. Men jag förstår att ditt sätt är säkrast. 

Om du testar dig fram ser du att det fungerar för enklare partialbråksuppdelningar som exempelvis:

$$\begin{gathered} 1=A(x+1)+B(x-1) \\ 1=A(x+1)+B(x+1)(x-1)+C{(x-1)}^2 \end{gathered}$$

Anledningen att det fungerar specifikt för dessa kan säkerligen en matematiker svara på. Det är utanför min expertis och mitt intresse att spekulera kring och det var allt för längesedan jag studerade detta. Men, något som är intressant egentligen är att om vi tittar på det närmre så kan det upplevas som ganska märkligt. Vi har nämligen att:

$Om x=1 så B=1/4$

Det säger sig självt baserat på ekvationen. Ett problem uppstår då utifrån det faktum att vi faktiskt vet att vi har $B=1/2$. Vad beror detta på? Jo, det beror på att den punkten ($x=1$) egentligen är odefinierad. Vi har ett rationellt uttryck som vi kan ansätta som en funktion enligt nedan:

$f\left(x\right)=\frac{1}{{(x^2-1)}^2}$

Plottar vi denna i ett koordinatsystem får vi:

Det som händer när vi multiplicerar högerledet med nämnaren när $x=1$ är egentligen att vi multiplicerar högerledet med noll. Således blir det som om vi säger att:

$1=0\times \left[\mathrm{någonting}\right]$

Vilket naturligtvis inte (Edit: "inte alltid" ska det stå här) stämmer. Detta innebär att det så klart kan bli rätt ibland men det blir inte alltid rätt vilket det måste bli för att vi ska kunna med säkerhet säga något. Det sista är hela poängen med den här typen av matematik. 

Nu har det nog blivit lite fel här för er båda tror jag!

I kontrollräkningen har vi i näst sista steget i täljaren att

$-x^3+3x+2+x^3-3x+2=4$

Vilket ger oss att bråket blir

$\frac{2}{(x-1)^2(x+1)^2}$

som inte stämmer. Felet kommer sig av att sista ekvationen i ekvationssystemet är fel, den ska vara

$-A+B+C+D=1$

som ger det rätta svaret att

$A=-\frac{1}{2}; B=C=D=\frac{1}{2}$

Det finns även något räknefel i orginalinlägget för fallet $x=2$. Om du räknar om det här ska du nog se att du får rätt svar.

Det stämmer att vi måste bestämma konstanterna för alla värden på $x$ men det går alldeles utmärkt att ansätta specifika värden på $x$, konstanterna ska ju gälla även för dessa specifika värden.

Den metod du använt är korrekt och är okej att använda och jag har sett den användas av såväl föreläsare som andra studenter. Däremot skulle jag rekommendera mot att använda den när vi har 4 termer som du har, då man lätt gör misstag.

TobbeR skrev:

Nu har det nog blivit lite fel här för er båda tror jag!

I kontrollräkningen har vi i näst sista steget i täljaren att

$-x^3+3x+2+x^3-3x+2=4$

Vilket ger oss att bråket blir

$\frac{2}{(x-1)^2(x+1)^2}$

som inte stämmer. Felet kommer sig av att sista ekvationen i ekvationssystemet är fel, den ska vara

$-A+B+C+D=1$

som ger det rätta svaret att

$A=-\frac{1}{2}; B=C=D=\frac{1}{2}$

 

Det finns även något räknefel i orginalinlägget för fallet $x=2$. Om du räknar om det här ska du nog se att du får rätt svar.

Det stämmer att vi måste bestämma konstanterna för alla värden på $x$ men det går alldeles utmärkt att ansätta specifika värden på $x$, konstanterna ska ju gälla även för dessa specifika värden.

Den metod du använt är korrekt och är okej att använda och jag har sett den användas av såväl föreläsare som andra studenter. Däremot skulle jag rekommendera mot att använda den när vi har 4 termer som du har, då man lätt gör misstag.

Spännande! Tack för korrektion. Jag blev lite misstänksam där när jag kontrollerade och det fungerade. Jag borde dykt djupare och inte förlitat mig på magkänslan. Det är ju faktiskt så att den odefinierade punkten divideras bort i högerledet så hela min diskussion i tidigare inlägget är felaktig.