Partialbråksuppdelning

Du behöver ha Cx+D i täljaren om det är ett kvadratuttryck i nämnaren.

Laguna skrev:

Du behöver ha Cx+D i täljaren om det är ett kvadratuttryck i nämnaren.

Åhh då fattar jag inte riktigt kollade i boken och såg: 

Då trodde jag att som i deras exempel att inte (x-1)^2 behövde Cx+D utan bara om det var (x^2+1) kvar som inte gick att partialpråksuppdela mer. I detta exempel:

Är det ju egentligen också x^2 i nämnaren om man räknar ihop nämnaren men där behövs inte Cx+D. Har någon lust att förklara? Snälla 🙏

Om nämnaren är ett förstagradsuttryck ( t ex x-3) skall täljaren vara en konstant.

Om nämnaren  är ett  andragradsuttryck ( t ex $x^2+1$ eller $(x-3)^2$ skall man ansätta ett förstagradsuttryck i täljaren.

EDIT: Jag hade fel. Det är bara när nämnaren är ett icke reducibelt andragradsuttryck  (t ex x²+5) som det blir typ Ax+B.

Nej, nu har Smaragdalena och Laguna fel. Det skall vara precis som du säger, när vi har ett förstagradsuttryck upphöjt i två finns inget behov av någon $x$-term i täljaren.

Du har gjort precis rätt ansats. Däremot har du krånglat till det när du skall lösa det hela. Du verkar multiplicera båda led med $x(x-3)(x-3)^2$. Du missar då att i vänsterled får vi inte $1$, utan:

$\dfrac{1}{x(x-3)^2}\cdot x\left(x-3\right)\left(x-3\right)^2=...$

$x-3=...$

Dock kan du göra det enklare för dig genom att multiplicera med ett mindre uttryck. Se vad som händer om vi multiplicerar med $x(x-3)^2$:

$\dfrac{1}{x(x-3)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-3}+\dfrac{C}{(x-3)^2}$

$\dfrac{1}{x(x-3)^2}\cdot x\left(x-3\right)^2=x\left(x-3\right)^2(\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-3}+\dfrac{C}{(x-3)^2})$

$1=A(x-3)^2+Bx(x-3)+Cx$

Betydligt enklare att lösa, eller hur?

Men det blir ännu enklare. Heavisides handpåläggningsmetod låter dig bestämma $A$ och $C$ mycket enkelt. Jag rekommenderar att du lär dig den.

Smaragdalena skrev:

Om nämnaren är ett förstagradsuttryck ( t ex x-3) skall täljaren vara en konstant.

Om nämnaren  är ett  andragradsuttryck ( t ex $x^2+1$ eller $(x-3)^2$ skall man ansätta ett förstagradsuttryck i täljaren.

Hur blir det då om det är två men andragradspotenser? Tex (x-a)^2(x^2+b) ska man ansätta Cx+D och Ex+F då? Och om det är tredjegradspolynom ska man ansätta Cx^2+Dx+E då?

Louiger skrev:

Smaragdalena skrev:

Om nämnaren är ett förstagradsuttryck ( t ex x-3) skall täljaren vara en konstant.

Om nämnaren  är ett  andragradsuttryck ( t ex $x^2+1$ eller $(x-3)^2$ skall man ansätta ett förstagradsuttryck i täljaren.

Hur blir det då om det är två men andragradspotenser? Tex (x-a)^2(x^2+b) ska man ansätta Cx+D och Ex+F då? Och om det är tredjegradspolynom ska man ansätta Cx^2+Dx+E då?

Som jag nämnde i mitt förra inlägg har Smaragdalena uppfattat fel. Det gäller, precis som du sa, att när vi har $(x-a)^2$ skall täljarna vara konstanter. Ett andragradsuttryck som inte är på denna form skall dock ha en ansats $Ax+B$:

$\dfrac{1}{(x-a)^2(x^2+b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+b}$

Tredjegradspolynom får du i regel inte när du partialbråksuppdelar. Detta är eftersom alla tredjegradspolynom åtminstone går att faktorisera ned till ett andragradspolynom och ett förstagradspolynom, och då går det att använda de vanliga reglerna. På samma sätt går alla fjärdegradspolynom, femtegradspolynom o.s.v. också att reducera ned till första- och andragradsfaktorer.

Det finns dock ett fall till, nämligen en potens av en andragradsfunktion. Då får du en liknande ansats som potenser av förstagradspolynom, med skillnaden att du har en förstagradsfunktion i täljaren:

$\dfrac{1}{(x^2+ax+b)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+ax+b}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+ax+b)^2}$

Dessa regler sammanfattas på Wikipedia i en trevlig liten tabell.

AlvinB skrev:

Louiger skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Om nämnaren är ett förstagradsuttryck ( t ex x-3) skall täljaren vara en konstant.

Om nämnaren  är ett  andragradsuttryck ( t ex $x^2+1$ eller $(x-3)^2$ skall man ansätta ett förstagradsuttryck i täljaren.

Hur blir det då om det är två men andragradspotenser? Tex (x-a)^2(x^2+b) ska man ansätta Cx+D och Ex+F då? Och om det är tredjegradspolynom ska man ansätta Cx^2+Dx+E då?

Som jag nämnde i mitt förra inlägg har Smaragdalena uppfattat fel. Det gäller, precis som du sa, att när vi har $(x-a)^2$ skall täljarna vara konstanter. Ett andragradsuttryck som inte är på denna form skall dock ha en ansats $Ax+B$:

$\dfrac{1}{(x-a)^2(x^2+b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+b}$

Tredjegradspolynom får du i regel inte när du partialbråksuppdelar. Detta är eftersom alla tredjegradspolynom åtminstone går att faktorisera ned till ett andragradspolynom och ett förstagradspolynom, och då går det att använda de vanliga reglerna. På samma sätt går alla fjärdegradspolynom, femtegradspolynom o.s.v. också att reducera ned till första- och andragradsfaktorer.

Det finns dock ett fall till, nämligen en potens av en andragradsfunktion. Då får du en liknande ansats som potenser av förstagradspolynom, med skillnaden att du har en förstagradsfunktion i täljaren:

$\dfrac{1}{(x^2+ax+b)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+ax+b}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+ax+b)^2}$

Dessa regler sammanfattas på Wikipedia i en trevlig liten tabell.

Tack! Såg inte ditt första svar när jag svarade innan pga inte uppdaterat sidan. Tack för hjälpen, nu såg jag vad jag gjort fel!!!

Smaragdalena skrev:

Om nämnaren är ett förstagradsuttryck ( t ex x-3) skall täljaren vara en konstant.

Om nämnaren  är ett  andragradsuttryck ( t ex $x^2+1$ eller $(x-3)^2$ skall man ansätta ett förstagradsuttryck i täljaren.

EDIT: Jag hade fel. Det är bara när nämnaren är ett icke reducibelt andragradsuttryck  (t ex x²+5) som det blir typ Ax+B.

Ja, vi har gjort SLARVFEL.

I tråden "Tecken-förrvirring vid laplacetransformering!" redovisar jag, praktiskt och algebraiskt, hur handpåläggning går till.

Anm: I den tråd jag refererade till, behandlar jag basala exempel med enkla nollställen. 

För multipla nollställen innehåller nuvarande tråd många bra och förklarande svar , se t ex tabellen i AlvinB:s replik.