partialbråksuppdela primitiv

Hej

jag har en uppgift där jag ska hitta samtliga primitiver till:

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 34}{(x^{2} + 2 x + 5) (x^{2} + 2 x - 3)}$

Jag började med att utföra en partialbråksuppdela och fick $\frac{2 (x^{2} - 2 x + 17)}{(x^{2} + 2 x + 5) (x + 3) (x - 1)}$

Sedan satte jag $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2 x + 5}$

Nästa steg blir väl $A (x + 3) (x^{2} + 2 x + 5) B (x - 1) (x^{2} + 2 x + 5) (C x + D) (x - 1) (x + 3)$

men jag är lite osäker när det gäller Cx+D, ska man multiplicera så vi får $C x^{3} + C 2 x^{2} - C 3 x$ och $D x^{2} + 2 D x - 3 D$

Ja. Och när du sätter ihop allting ser du genast att C = 0 eftersom vi inte har någon $x^3$ -term i VL.

EDIT: Så enkelt var det inte.

okej men hur ska man göra med Cx+D när man samlar ihop termerna till ett ekvationssystem?

Jag får först $A (x^{3} + 5 x^{2} + 11 x + 15) B (x^{3} + x^{2} + 3 x - 5) C x + D (x^{2} + 2 x - 3)$

hur ska man nu dela upp C och D termerna?

Nej, du skall sortera $x^3$ -termerna för sig, $x^2$ -termerna för sig, $x$ -termerna för sig och konstanttermerna för sig. När du har gjort det, ser du att summan av alla $x^3$ -termer skall vara lika med 0, att summan av alla $x^2$ -termer skall vara lika med 2, att summan av alla $x$ -termer skall vara -4 och att summan av alla konstanttermer skall vara lika med 34.

Ska vi alltså skriva det som $\begin{matrix} A & B & 0 & 0 & 0 \\ 5 A & B & C & D & 2 \\ 11 A & 3 B & 2 C & 2 D & - 4 \\ 15 A & - 5 B & - 3 C & - 3 D & 34 \end{matrix}$

Jag lyckas inte tyda vad det är du menar. Är det ekvationssystemet på något konstigt sätt?

Svara

Visa senaste svar