Partialbråksuppdela

Jag sitter med en uppgift där man ska bestämma primitiver och har lite svårt att komma igång.

Bestäm samtliga primitiver m.h.a. partialbråksuppdelning till:

$\frac{x^{2} + 4}{x - 1}$

Som jag har förstått så ska graden av täljaren vara lägre än graden av nämnaren.

Om man utför partialbråksdivision av $x^{2} + 4 = 0$ får man $x = \pm 2 i$

Det är nog enklare att utföra divisionen (polynomdivision)

resultat blir x+1 +5/(x-1) som det är tämligen enkelt att hitta en primitiv till

okej men jag får inte fram $x + 1 + \frac{5}{x - 1}$

jag får x+1 men jag får kvar femman

Ja det stämmer resten blir 5 som ska delas med x+1.

Prova genom att gå tillbaka igen

$x + 1 + \frac{5}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} + \frac{5}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} + \frac{5}{x - 1} = \frac{x^{2} + 4}{x - 1}$

Hej!

Eftersom Konjugatregeln låter dig skriva

$x^2+4 = (x^2-1) + 5 = (x-1)(x+1) + 5$

så blir kvoten

$\frac{x^2+4}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = \frac{5}{x-1} + x+1\ ,$

vilket du lätt kan finna en primitiv funktion till.

Albiki

Svara

Visa senaste svar