Parametrisering, vektorfält

i a) frågan har jag tagit fram en parametrisering av ellipskurvan som:

$x = \cos (t) y = \sqrt{2} * \sin (t)$

Vilket bör ge $F (t, t) = (\cos (t) + \sqrt{2} * \sin (t), \cos (t))$ , t bör även rimligen variera mellan $0 \leq t \leq 2 π$

Men här börjar det bli snurrigt, vad ska jag göra nu? Jag vet att via parametriseringen kan man skriva om kurvintegralen som:

Skulle man kunna parametrisera vår vektorfunktion (x+y,x) --> (2t,t)

Därmed $r (t) = (2 t, t) r' (t) = (2, 1)$ vilket bör tillslut ge integralen $\int_{0}^{2 π} 5 t d t = 10 π^{2}$

Eller är parametriseringen helt felaktig?

Jag förstår inte vad du gör i ditt sista steg. Dessutom verkar du inte förstå integrationsvägen / gränserna.

Börja med att rita en tydlig bild över ellipsen, märk ut start- och slutpunkt för din linjeintegral. Mellan vilka vinklar ska din parameter t löpa? Kontrollera att kurvan genomlöps i rätt riktning med stigande t.

Du har kommit fram till att

$\displaystyle \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt$

Med parameterframställningen $\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sqrt{2}\sin(t))$

Vad är alltså $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ ? Det är tänkt att du ska substituera $x(t),y(t)$ i $\mathbf{F}$

Vad är $\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ ?

Vad blir därmed skalärprodukten

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}$

D4NIEL skrev:
Jag förstår inte vad du gör i ditt sista steg. Dessutom verkar du inte förstå integrationsvägen / gränserna.

Börja med att rita en tydlig bild över ellipsen, märk ut start- och slutpunkt för din linjeintegral. Mellan vilka vinklar ska din parameter t löpa? Kontrollera att kurvan genomlöps i rätt riktning med stigande t.

Du har kommit fram till att

$\displaystyle \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt$

Med parameterframställningen $\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sqrt{2}\sin(t))$

Vad är alltså $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ ? Det är tänkt att du ska substituera $x(t),y(t)$ i $\mathbf{F}$

Vad är $\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ ?

Vad blir därmed skalärprodukten

$\displaystyle \mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}$

$r (t) = (\cos (t), \sqrt{2} \cdot \sin (t)) (1, 0) \to t = 0 (0, \sqrt{2}) \to t = \frac{π}{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq \frac{π}{2}$

$r' (t) = (- \sin (t), \sqrt{2} \cdot \cos (t))$

$F ((r (t)) = (\cos (t) + \sqrt{2} \sin (t), \cos (t))$

$F \cdot \frac{d r}{d t} = - \cos (t) \cdot \sin (t) - \sqrt{2} \cdot \sin^{2} (t) + 2 \cdot \cos^{2} (t)$

Eller tänker jag helt fel med F((r(t))?

Det ser bra ut, förutom att den sista tvåan ska vara $\sqrt{2}$

Om du vill kan du förenkla det ytterligare till

$\displaystyle \mathbf{F}(t)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sqrt{2}\cos(2t)-\frac12\sin(2t)$

Nu kan du sätta in gränserna och beräkna din integral.

D4NIEL skrev:
Det ser bra ut, förutom att den sista tvåan ska vara $\sqrt{2}$

Om du vill kan du förenkla det ytterligare till

$\displaystyle \mathbf{F}(t)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sqrt{2}\cos(2t)-\frac12\sin(2t)$

Nu kan du sätta in gränserna och beräkna din integral.

Yes, tackar!

Svara

Visa senaste svar