4 svar
193 visningar
Freedom hold 88
Postad: 12 apr 2022 18:03

Parametrisering, vektorfält

i a) frågan har jag tagit fram en parametrisering av ellipskurvan som:

x = cos(t)y = 2*sin(t)

Vilket bör ge F (t,t) = (cos(t)+2*sin(t), cos(t)), t bör även rimligen variera mellan 0t2π

Men här börjar det bli snurrigt, vad ska jag göra nu? Jag vet att via parametriseringen kan man skriva om kurvintegralen som:

 Skulle man kunna parametrisera vår vektorfunktion (x+y,x) --> (2t,t)

Därmed r(t) = (2t,t)r'(t) = (2,1)vilket bör tillslut ge integralen 02π5t dt = 10π2

Eller är parametriseringen helt felaktig?

D4NIEL 2932
Postad: 12 apr 2022 19:39 Redigerad: 12 apr 2022 19:44

Jag förstår inte vad du gör i ditt sista steg. Dessutom verkar du inte förstå  integrationsvägen / gränserna.

Börja med att rita en tydlig bild över ellipsen, märk ut start- och slutpunkt för din linjeintegral. Mellan vilka vinklar ska din parameter t löpa? Kontrollera att kurvan genomlöps i rätt riktning med stigande t.

Du har kommit fram till att

abF(r(t))·drdtdt\displaystyle \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt

Med parameterframställningen r(t)=(cos(t),2sin(t))\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sqrt{2}\sin(t))

Vad är alltså F(r(t))\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))? Det är tänkt att du ska substituera x(t),y(t)x(t),y(t) i F\mathbf{F}

Vad är drdt\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}?

Vad blir därmed skalärprodukten

F·drdt\displaystyle \mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}

Freedom hold 88
Postad: 12 apr 2022 20:52
D4NIEL skrev:

Jag förstår inte vad du gör i ditt sista steg. Dessutom verkar du inte förstå  integrationsvägen / gränserna.

Börja med att rita en tydlig bild över ellipsen, märk ut start- och slutpunkt för din linjeintegral. Mellan vilka vinklar ska din parameter t löpa? Kontrollera att kurvan genomlöps i rätt riktning med stigande t.

Du har kommit fram till att

abF(r(t))·drdtdt\displaystyle \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt

Med parameterframställningen r(t)=(cos(t),2sin(t))\mathbf{r}(t)=(\cos(t), \sqrt{2}\sin(t))

Vad är alltså F(r(t))\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))? Det är tänkt att du ska substituera x(t),y(t)x(t),y(t) i F\mathbf{F}

Vad är drdt\displaystyle \frac{d\mathbf{r}}{dt}?

Vad blir därmed skalärprodukten

F·drdt\displaystyle \mathbf{F}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}

r(t)=(cos(t), 2·sin(t))(1,0) t=0(0,2) t=π20tπ2

r'(t) = (-sin(t), 2·cos(t))

F((r(t)) = (cos(t)+2sin(t), cos(t))

F·drdt=-cos(t)·sin(t)-2·sin2(t)+2·cos2(t)

Eller tänker jag helt fel med F((r(t))?

D4NIEL 2932
Postad: 12 apr 2022 22:27

Det ser bra ut, förutom att den sista tvåan ska vara 2\sqrt{2}

Om du vill kan du förenkla det ytterligare till

F(t)·drdt=2cos(2t)-12sin(2t)\displaystyle \mathbf{F}(t)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sqrt{2}\cos(2t)-\frac12\sin(2t)

 

Nu kan du sätta in gränserna och beräkna din integral.

Freedom hold 88
Postad: 13 apr 2022 12:16
D4NIEL skrev:

Det ser bra ut, förutom att den sista tvåan ska vara 2\sqrt{2}

Om du vill kan du förenkla det ytterligare till

F(t)·drdt=2cos(2t)-12sin(2t)\displaystyle \mathbf{F}(t)\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\sqrt{2}\cos(2t)-\frac12\sin(2t)

 

Nu kan du sätta in gränserna och beräkna din integral.

Yes, tackar!

Svara
Close