Parametrisering av kurva, cirkelskiva och beräkna kvot.

Vrid din figur 90grader vänster, så blir x en funktion av y. Integrera m.a.p y mellan skärningspunkterna.

Bubo skrev:

Vrid din figur 90grader vänster, så blir x en funktion av y. Integrera m.a.p y mellan skärningspunkterna.

Genom att skriva det som $x=\frac{y^2}{2}$? Blir inte klokare på det.. :(

Jag trodde att jag hade lite koll på läget, men står helt stilla.

Jag tror att jag har hittat skärningspunkterna som jag fick när jag satte in kurvan i cirkelskivan, fick då att x är -4 eller 2. Men då kurvan går åt höger (kan man säga så?) är det när x är lika med 2 som gäller.

Sen vet jag inte riktigt hur jag ska skriva om det till en integral, får verkligen inte till det av någon anledning.. Vill skriva integralen som kurvan $-$ cirkelskivan, då kurvan är den "övre funktionen" som innesluter cirkelskivan och begränsar arean.

Hej!

Börja med att rita en bild och markera båda områdena, sen lägger du in bilden här.

Moffen skrev:

Hej!

Börja med att rita en bild och markera båda områdena, sen lägger du in bilden här.

behemoth skrev:

Moffen skrev:

Hej!

Börja med att rita en bild och markera båda områdena, sen lägger du in bilden här.

Bra, markera sen dom två olika områdena.

Moffen skrev:

behemoth skrev:

Visa föregående citat

Moffen skrev:

Hej!

Börja med att rita en bild och markera båda områdena, sen lägger du in bilden här.

Bra, markera sen dom två olika områdena.

Nu kan du väl ta bara 1/2 av cirkeln ... beräkna halvcirkelns area och den övre delen (y>=0) av den vänstra svarta arean (inom parabeln, som består av 2 delar).

Vilken ekvation har den rosalila kurvan? Det har du redan svarat på.

Vilken ekvation har den orange kurvan?

Beräkna en integral.

Bubo skrev:

Vilken ekvation har den rosalila kurvan? Det har du redan svarat på.

Vilken ekvation har den orange kurvan?

Beräkna en integral.

Den orange kurvan.. Är ju en bit av cirkelskivan, men vet inte hur jag skriver om just den biten till en ekvation?

Orange kurva är (en del av) cirkelns rand. 

x^2 + y ^2 = 8

...så då är y= ...

Bubo skrev:

Orange kurva är (en del av) cirkelns rand. 

x^2 + y ^2 = 8

...så då är y= ...

Ska jag skriva om den till $y=\sqrt{8}\cos \left(t\right)+\sqrt{8}\sin \left(t\right)$? 

Du behöver inte parametrisera alls.

Nu har jag vridit figuren, men jag kallar ändå axeln åt höger för x, uppåt för y:

y^2 = 8 - x^2, så y = sqrt(8-x^2)

Undre kurvan är ju x^2 / 2.

Integrationsgränserna har du redan hittat.

Oj. Det blev ingen enkel integral. Någon annan kanske har en enklare lösning.

Ibland är den enkla lösningen så enkel att man inte ser den... :-)

Markera en fjärdedel av cikeln (välj rätt fjärdedel). Ser du så lätt det blir då?

Bubo skrev:

Ibland är den enkla lösningen så enkel att man inte ser den... :-)

Markera en fjärdedel av cikeln (välj rätt fjärdedel). Ser du så lätt det blir då?

Vad tycker du om min lösning? :) Är inte fullständigt ännu, men nu är det ”bara” att räkna.

Då räknar du bättre än jag. Sista integralen klarar inte jag.

För övrigt ser det bra ut, tycker jag.

Bubo skrev:

Då räknar du bättre än jag. Sista integralen klarar inte jag.

För övrigt ser det bra ut, tycker jag.

Haha, nja.. Var inget jag kunde lösa utan Google, så ska kika lite på efter vad du menar i inlägget ovan och se ifall jag ser "så lätt det blir då" :)

btw, man kan substituera $x=2\sqrt{2}\sin \left(u\right)$ för att kunna lösa den integralen.. "Lite" ovanför min nivå också! :p

Man kanske inte förväntas kunna lösa sådana integraler tidigt på universitetet, men det kommer.

Bubo skrev:

Ibland är den enkla lösningen så enkel att man inte ser den... :-)

Markera en fjärdedel av cikeln (välj rätt fjärdedel). Ser du så lätt det blir då?

Haha, ser det fortfarande inte.. 

Stirrat mig blind på den här bilden hela dagen nu, men känner mig inte nöjd ännu. Vill kunna få till integralen på ett enklare sätt :)

Dra radier i cirkeln till kurvornas skärningspunkter. (Ursprungliga bilden). Det som är utöver kvartscirkeln integrerar du lätt.

Bubo skrev:

Dra radier i cirkeln till kurvornas skärningspunkter. (Ursprungliga bilden). Det som är utöver kvartscirkeln integrerar du lätt.

Menar du $y=\pm x$? :)

Men kommer fortfarande ha den jobba integralen kvar.. För jag kan ju inte "stänga" in området utan den?

Det lilla sökta området har tre delar. En kvartscirkel och två små bitar. En sådan bit begränsas av y=x och y =sqrt(2x )

Bubo skrev:

Det lilla sökta området har tre delar. En kvartscirkel och två små bitar. En sådan bit begränsas av y=x och y =sqrt(2x )

Precis, men utan att använda den svåra integralen, hur hade du gjort för den markerade biten? :)

Den är inte svår. Den ingår i kvartscirkeln.

Ibland är det nästan omöjligt att se det "självklara".

Bubo skrev:

Den är inte svår. Den ingår i kvartscirkeln.

Ibland är det nästan omöjligt att se det "självklara".

Ah shit.. Nu ser jag, lol.

Tvungen att vrida på bilden $45°$ för att se :p