Parametrisering av cirklar och ellips

Hej!

Jag har fått ett gäng uppgifter om parametrisering utan facit, skulle ni kunna se om jag är på rätt väg?

(a)  Parametrisera enhetscirkeln centrerad omkring origo, moturs.

(b) Parametrisera cirkeln med radie 2, centrerad omkring origo, moturs.

(c) Parametrisera enhetscirkeln centrerad omkring (1, 2), moturs.

(d) Parametrisera enhetscirkeln, centrerad omkring origo, medurs.

(e) Parametrisera ellipsen $3x^2 + 4y^2 = 12$, moturs.

(f) I uppgifterna a-e ovan ge en ny parametrisering med ett annat intervall. Tex, om du har använt intervallet [0, 2π], and nu istället intervallet [0, 1].

(g) I uppgifterna a-d ovan, ge också en ekvation för kurvan.

Så här har jag tänkt:

(a)

Enhetscirkelns ekvation är $x^2 + y^2 = 1$.

För att parametrisera denna sätter jag in $x = \cos \left(t\right), y = \sin \left(t\right), t \in [0,2\mathrm{\pi })$.

(b)

Cirkelns ekvation är $x^2 + y^2 = 4$.

För att parametrisera denna sätter jag in $x = 2\cos \left(t\right), y = 2\sin \left(t\right), t \in [0,2\mathrm{\pi })$.

(c)

Enhetscirkelns ekvation när den är centrerad omkring (1,2) är $(x-1{)}^2 + (y-2{)}^2 = 1$.

För att parametrisera denna sätter jag in $x = \cos t\left(t\right) +1, y = \sin \left(t\right) +2, t \in [0,2\mathrm{\pi })$.

(d)

För att parametrisera enhetscirkeln omkring origo medurs sätter jag in $x = \cos (-t), y =\hspace{0.17em}\sin (-t), t \in [0,2\mathrm{\pi })$.

(e)

Ellipsens ekvation kan även skrivas som $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$.

För att parametrisera ellipsen sätter jag in $x = 2\cos \left(t\right), y = \sqrt{3}\sin \left(t\right), t \in [0,2\mathrm{\pi })$.

(f)

Jag har i uppgifterna ovan använt mig av intervallet [0,2π) och använder mig istället nu av [0,1). Jag sätter då in 2πt istället för endast t för x och y och låter t variera mellan [0,1).

(g)

Denna uppgift förstår jag inte riktigt, vad är det för ekvation jag ska skriva? Ska jag byta ut x och y så att till exempel (a) blir ${\cos }^2\left(t\right) + {\sin }^2\left(t\right) = 1, t \in [0,2\mathrm{\pi })$?

Tack på förhand för hjälpen!