Parametrisering

Jag sitter med en uppgift där man ska ta fram en parametrisering och har lite svårt att komma igång.

Uppgiften är

Hitta parametrisationen av parabeln $y = x^{2}$ genom att använda lutningen av tangenten.

I svaret står det att lutningen av $y = x^{2}$ i x är m=2x. Därmed kan parabeln parametriseras som $x = \frac{m}{2}, y = \frac{m^{2}}{4}, (- \infty < m < \infty)$

Det jag ser är att man har deriverat x och satt m=2x. Sedan har man fått att $x = \frac{m}{2}$ och $y = \frac{m^{2}}{4}$ det förstår jag inte riktigt.

Ett godtyckligt värde på x ger i ditt fall värdet i kvadrat för y. Exempel på fler parametriseringar för parabeln $x = y^{2}$ :

$x = x o c h y = x^{2}, x = t o c h y = t^{2}, x = \frac{t}{2} o c h y = (\frac{t}{2})^{2} = \frac{t^{2}}{4}$

Det viktiga är att komma ihåg hur x och y relaterar till varandra, i detta fall är $y = x^{2}$ . Hade det varit en annan uppgift där du skulle ge en parametrisering för exempelvis $y = x + 7$ skulle en möjlig parametrisering vara:

$x = t, y = t + 7$ .

Om set står i uppgiften att parameterns skall vara lutningen i punkten, är det bara den parametriseringen som gäller i det här fallet. Att lutningen hos en kurva är derivatan i denna punkt lär man sig i Ma3, likaså att derivatan av funktionen $y(x)=x^2$ är $y'(x)=2x$ . Svårigheten i den här uppgiften är alltså att förstå vad det är man frågar efter, inte att räkna ut det.

Om du har funktionen $y=x^2$ så kan ekvationen för tangenten i punkten $(x,y)$ skrivas som $y=kx+m$ där $k=2x$ . Om du skall använda kurvans lutning som parameter är det alltså detta k-värde du skall använda som parameter. Du behöver alltså skriva $x$ och $y$ som funktioner av detta $k$ . Om du löser ut $x$ som en funktion av $k$ får du $x=\frac{k}{2}$ . Där har du parametriseringen för $x$ . Du vet att $y=x^2=(\frac{k}{2})^2=\frac{k^2}{4}$ . Där har du parametriseringen för $y$ .

Jag tycker det är lite olyckligt att man har valt just bokstaven m som parameter, eftersom m brukar betyda något annat i sammanhanget y=kx+m.

Svara