Parametrar, riktningsvektorer och ekvationer för linjer och plan
Är lite förvirrad över detta - hur många parametrar linjer och plan har, och hur man tolkar deras ekvationer:
1. Har en linje alltid bara en riktningsvektor på parameter form?
2. Har ett plan alltid bara två riktningsvektorer på parameter form?
3. Om en linje har ekvationen x=-y=z hur ska jag tolka detta?
(Uppgiften här i fråga gäller ett plan i vilket en solstråle infaller längs med denna linjen, speglas i planet och den linje i vilken strålen utfaller i ska man beräkna ekvationen för. Jag tänker mig att det är 90 grader mellan in och utfallande - så om man tar riktningsvektorn för infallande och multiplicerar med utfallande så ska det bli noll.
Men jag vet inte riktigt hur jag ska gå till väga:
x=-y=z säger mig spontant att
x=t
y=-t
z=t
men också att x+y-z=0, där man får tex
x= 0+ t - s
y= 0+ t
z= 0+ s
MEN då får man ju två riktningsvektorer ...
HELP! Och varför är det det ena tillvägagångssättet ovan och inte det andra?
Och om båda är fel - vad skulle jag gjort?
*speciellt vill jag verkligen veta hur jag ska tolka x=-y=z
4. Om det är första förslaget ovan så får jag från riktningsvektorn
(1,-1,1)*(x,y,z)=0
ger
x - y + z = 0
men facit ska bli
(5t, -11t, t)
Hej!
Här fanns en hel del att gräva i. Vi börjar med dina tre frågor:
- Ja, en linje beskriven på parameterform ges av en punkt och en riktningsvektor. Dock kan man välja vilken punkt som helst på linjen, och vilken vektor som helst som är parallell med linjen, så det finns oändligt många beskrivningar av varje linje.
- Ja, ett plan beskrivs på samma sätt som en punkt och två vektorer. Samma förbehåll där dock, man kan ta valfri punkt och vilka två vektorer i planet som helst (så länge de inte är parallella med varandra).
- Precis så som du tolkat det först i uppgiften, du kan skriva om det på parameterform som
Generellt gäller att på normalform bestäms en linje i rummet av två ekvationer (eftersom linjen bara har en frihetsgrad), t.ex. x=-y=z, medan ett plan bestäms av en ekvation (eftersom den har två frihetsgrader kvar), t.ex. x-y+x=0.
Vad gäller spegling så behöver inte vinkeln mellan utgående och ingående stråle vara nittio grader. Om du tänker dig att du lyser rakt på planet (längs normalvektorn) så kommer ju den speglade strålen att gå rakt ut igen, och inkommande och utgående är parallella. Det som däremot gäller är att ingående och utgående stråle bildar samma vinkel mot planets normalvektor. Och, vilket nog är det enklaste att använda i den här uppgiften, att den utgående strålen är speglingen av den inkommande strålens fortsättning efter planet.
Att x+y-z=0 är inte sant, x=-y=z ger
x + y - z = x + (-x) + x = x,
alltså inte 0.
För att lösa uppgiften med strålens spegling i planet skulle jag:
- Räkna ut skärningspunkten mellan strålen och planet (både ekvationen för planet och för strålen ska vara uppfyllda)
- Välj en punkt på strålen (inte skärningspunkten).
- Räkna ut punktens projektion på planets normalvektor och subtrahera den två gånger, för att få fram punktens spegelbild i planet
- Den speglade strålen går genom både skärningspunkten (från 1) och den speglade punkten (från 3) - använd det för att ta fram linjens ekvation
