Parametisering

Jag har löst ett ekvationssystem som visar sig vara underbestämt. Systemet visar sig alltså ha oändligt många lösningar. Jag vet att jag kan uttrycka lösningarna om jag använder (n-p) parametrar. Detta system visar sig ha fyra obekanta och två ekvationer, alltså n=4, p=2. Alltså n-p = 2, därmed två parametrar.

Såhär ser ekvationssystemet ut:

$\{\begin{cases} x + 2 y - 3 z + w = 20 \\ 0 x - 5 y + 3 z - 3 w = - 15 \end{cases}$

När jag låter z och w vara parametrar känns det som att lösningen blir onödigt krångligt:

$\{\begin{cases} x = 20 - 2 (- \frac{3 w - 3 z - 15}{5}) + 3 z - t \\ y = - \frac{3 w - 3 z - 15}{5} \\ z = s \\ w = t \end{cases}$

Hur gör man detta på bästa möjliga vis?

Tänk på att substituera z och w överallt, dvs x,y ska inte innehålla några z,w, bara s och t.

Gör man det får man

$\begin{array}{ccc}x&=&14+\frac{9}{5}s+\frac{1}{5}t\\y&=&3+\frac{3}{5}s-\frac{3}{5}t\\z&=&s\\w&=&t\end{array}$

Eftersom s och t är valda godtyckligt står det oss fritt att skala upp vektorerna med en faktor 5

$\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14\\3\\0\\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}9\\3\\5\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}1\\-3\\0\\5\end{bmatrix}$

Självklart ska det ju stå s och t istället för z och w:

$\{\begin{cases} x = 20 - 2 (- \frac{3 t - 3 s - 15}{5}) + 3 s - t \\ y = - \frac{3 t - 3 s - 15}{5} \\ z = s \\ w = t \end{cases}$

Bara ett misstag. Förstår att man kan förenkla och på så sätt göra lösningen mindre "krånglig". Jag var mest ute efter någon annan parametrisering. Annan än en där z och w är parametrar.

Lösningsmängden består av ett tvådimensionellt "plan" i 4 dimensioner.

Varje parameterframställning måste därför innehålla två linjärt oberoende basvektorer som spänner planet och en punkt. Vektorerna är det som står efter s och t. Det går alltså inte att göra så mycket "enklare".

Du kan förvisso specificera lösningsmängden genom att bilda två normalekvationer som är vinkelräta mot planet (dvs som spänner det tvådimensionella nollrummet), men det kräver återigen två vektorer.

JAG HITTADE EN GANSKA SNYGG LÖSNING:

Jag transformerade - med hjälp av grundläggande regler för ekvationssystem - mitt ursprungliga system:

$\{\begin{cases} x + 2 y - 3 z + w = 20 \\ 0 x - 5 y + 3 z - 3 w = - 15 \end{cases}$

till

$\{\begin{cases} 3 x + y - 6 z + 0 w = 45 \\ - 5 x + 0 y + 9 z + w = - 70 \end{cases}$

Jag bestämde x och z som parametrar och fick då:

$\{\begin{cases} x = s \\ y = 45 - 3 s + 6 t \\ z = t \\ w = - 70 + 5 s - 9 t \end{cases}$

Hur man parametriserar är inte jätteviktigt så länge det stämmer. Dock kan det underlätta att få ett litet finare svar. Om man finner sig i en situation där lösningen blir för krånglig kan man alltid påminna sig om att man kan modifiera sina parametrar baserat på situationen. Till exempel sätta s = 7s om man behöver hantera flera bråk /7.

Ja, det är en lösning med två basvektorer för samma lösningsplan :)

Sen kommer inte alla system du stöter på vara så här enkla. Då gäller regeln att antalet parametrar bestäms av antalet rader $n$ minus antalet pivotelement $r$ . Antalet pivotelement kallas också matrisens rang $r$ .

Om du inte omformar ditt system till en trappstegsmatris kan det vara svårt att se hur många fria variabler du har eller om systemet ens har lösningar (=inga pivotelement får stå i sista kolonnen)

Det finns alltså flera poänger med att gå metodiskt tillväga.

Svara

Visa senaste svar