Parameterlösningar

Här är deras lösning

Och här är en annan lösning där jag istället för att eliminera z ur de undre ekvationerna, eliminerade w.

Processerna ser ut såhär. Bokens och sedan min.

Du verkar gå fel redan i första steget. Hur fick du

$y+2z-3w=4$

på andra raden?

Och hur blev det

$z+w=2$

på tredje raden?

Ah just det! Jag skrev av bara från boken från och med den raden. Om du kollar på 4:e raden i boken där så började jag där, ganska så otydligt ja men glömde den detaljen. Därefter dock så tog jag bort w istället för z.

Jaha, då tror jag att jag förstår din fråga. Du undrar helt enkelt om ditt svar är ekvivalent med facit.

Ja, det är korrekt. Orsaken till att man brukar använda de sista obundna variablerna är att det blir lättare att systematiskt lösa ut de beroende vid större system.

Men du kan alltså låta $z=t$ och det ger exakt samma lösningsmängd.

Du och facit har fått "två olika" linjer som är samma linje

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\2\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\5\\-1\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\10\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-5\\1\\-1\end{pmatrix}$

Enda skillnaden är att ni valt två olika punkter samt bytt tecken på riktningsvektorn. Ni beskriver ändå exakt samma punktmängd. Är du med?

Hmmmm, jag har inte kommit sådär långt ännu, kan du förklara lite snabbt hur den där strukturen och konceptet fungerar, och vad det heter?

Konceptet kallas den räta linjens ekvation på vektorform

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v}$

Det går till så att man

1. Väljer en fast punkt $\mathbf{r}_0$ på linjen (vilket som helst, bara den ligger på linjen)
2. Väljer en riktningsvektor $\mathbf{v}$ som talar om åt vilket håll linjen går (två möjligheter)

Olika värden på löpvariabeln $t$ ger sedan alla punkter $\mathbf{r}=(x,y,z,w)$ på linjen. Det relevanta här är alltså att man kan välja olika värden på den fasta punkten $\mathbf{r}_0$ samt gå åt ena eller andra hållet längs linjens längdriktning $\mathbf{v}$

Ditt och facits system beskriver båda samma linje men det kan vara svårt att genomskåda om man ännu inte lärt sig linjens ekvation. Däremot kan man alltid kontrollera att man fått rätt svar genom omskrivning.

Om du sätter $t=0$ i facits lösningsmängd får du punkten $(x,y,z,w)=(-3,0,2,0)$, vilket motsvarar $t=2$ i ditt system. Testa får du se!

Ahaa, jag satte in t=0 i facits vektorform och sedan satte r=(-3,0,2,0) i min lösning som vektorform och fick att x=y=z=w=2. Så om jag inte hade fått x=y=z=w så hade t varit obestämd eller något liknande? Sedan när jag satte in t=2 i parameterlösningen så fick jag den andra punkten från bokens lösning.