Parameterlösning av 3x3-system

Har följande uppgift: Bestäm alla reella lösningar x, y och z till ekvationssystemet:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-4z=1 \left(1\right)\\ x-2y+3z=0 \left(2\right)\\ 3x+y-z=1 \left(3\right)\end{array}\right.$

Har försökt lösa uppgiften med additionsmetoden då jag eliminerar z i ekvation (1) och (2) genom att addera dem med ekvation (3) multiplicerad med 3 respektive -4. Då får jag ekvationssystemet:

$\left\{\begin{array}{l}10x+y=3 \left(4\right)\\ -10x-y=-3 \left(5\right)\end{array}\right.$

Adderar jag dessa elimineras både x och y och jag får att $0=0$. Här stöter jag på ett problem för jag vet inte riktigt hur jag ska tolka detta. Hittills har jag valt att tolka det som att alla reella tal y uppfyller systemet eftersom $0\times y =\hspace{0.17em}0$, men jag antar att det lika gärna hade kunnat tolkas som att alla reella tal x uppfyller systemet eftersom $0\times x=0$. 

I vilket fall får jag då att: 

$10x+y=3\iff x=\frac{3-y}{10}$

och

$$\begin{gathered} 3x+y-z=1\iff z=3x+y-1\iff z=3\left(\frac{3-y}{10}\right)+y-1 \\ \iff z=\frac{9-3y}{10}+\frac{10y}{10}-\frac{10}{10}\iff z=\frac{7y-1}{10} \end{gathered}$$

Alltså får jag att ekvationssystemet har lösningen:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3-y}{10}\\ y\in \mathrm{ℝ}\\ z=\frac{7y-1}{10}\end{array}\right.$

Kollar jag facit är svaret å andra sidan:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2-z}{7}\\ y=\frac{10z+1}{7}\\ z\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right.$

Jag har sökt upp lösningar på liknande uppgifter och har sett att alla brukar svara med parameterlösning på samma format. Nämligen att $z\in \mathrm{ℝ}$och att x och y beror på z. Varför blir det alltid så? Det beror väl på att man valt att eliminera x och y och fått att 0*z = 0? Vilket å andra sidan blir krångligare i uppgiften jag har om man använder additionsmetoden. Kan man låta x och z bero på y som jag gjorde?

Om jag bryter ut x respektive y i min lösning så att de beror på z får jag att sambandet mellan variablerna är detsamma som det som visas i svaret, men då vet jag i stället inte hur jag ska visa att det gäller för alla $z\in \mathrm{ℝ}$(utom att lösa systemet på nytt och i stället eliminera x och y).

Jag har också funnit att man ofta använder Gausselimination för att lösa ekvationssystem med tre variabler. Däremot tror inte det är menat att man ska lösa uppgiften med det eftersom boken endast visar ett exempel på hur man löser ett ekvationssystem och det är ett 2x2-system som löses med substitutionsmetoden. Anledningen till att jag valde additionsmetoden i stället är att jag kan den sen innan och upplever att den är lättare att använda när man löser 3x3-system. Boken är för kursen analys i en variabel.