Parameterisering av skärningskurvan mellan två ytor

Hej!

Parametriseringen är faktiskt riktigt bra då du kan utnyttja trigonometriska ettan!

$$\begin{gathered} {\left(2*\cos \left(t\right)\right)}^2 + 4*{\left(\sin \left(t\right)\right)}^2 = 4 \\ 4*\left({\cos }^2\right(t) + {\sin }^2(t\left)\right) = 4 \\ 4*\left(1\right) = 4 \end{gathered}$$

Jo, det verkar rimligt men hur vet jag att det just ska vara $x=\mathbf{2}·\cos \left(t\right)$ istället för t.ex. $x=\cos \left(t\right)$?

För att du har $x^2 + 4y^2 = 4$, inte $x^2 + y^2 = 4$. Du har alltså en ellips, inte en cirkel.

Men kan jag inte "välja" $x=\cos \left(t\right)$ och sedan bara beräkna vad $y$ blir med den parameteriseringen? Förstår inte riktigt det här med parameterisering, det känns som att man kan skriva om i princip vad som helst till vad som helst såvida man förhåller sig till de givna sambanden?

Bump då jag fortfarande inte förstår vad som gäller och det har gått 24 timmar. 

Har du förstått det jag skrev förra gången:

Smaragdalena skrev :

För att du har $x^2 + 4y^2 = 4$, inte $x^2 + y^2 = 4$. Du har alltså en ellips, inte en cirkel.

Förstår du hur det går till när man parametriserar en cirkel med hjälp av sinus och cosinus? Vitsen är att man bara behöver en variabel för att beskriva cirkeln (t), inte två (x och y). Förstår du varför det inte fungerar att stjäla det konceptet rakt av?

Du skulle lika gärna kunna välja att x = cos t och y = 0,5 sin t.

Nej, jag förstår inte varför det inte går att stjäla det konceptet rakt av.

Varför blir faktorn framför parametern $\sin \left(t\right)$ hälften av parametern framför $\cos \left(t\right)$?
Hur kan jag genomskåda detta geometriskt eller på de två ekvationerna ovan?

Ser du att det här inte är en cirkel?

Ja, det är en ellips. Hur ska jag gå till väga för att genomskåda det sambandet när jag paramtereiserar och få det på rätt form i parameteriseringen isåfall?

Titta på smbandet $x^2 + 4y^2 = 4$. Vad får du för y-värden om du sätter in x = 0? Vad får du för y-värden om du sätter in x = 1? Vad får du för y-värden om du sätter in x = 2? Pricka in punkterna i ett koordinatsystem. Ser du något mönster? Troligen inte, det är så få punkter. Beräkna fler punkter och sätt in tills det syns hur kurvan ser ut.

Okej tack, men sen då? Hur kan jag "komma på" en lämplig parameterisering utifrån grafen?

Förstår du hur parametriseringen $\left\{\begin{array}{l}x = r \cos \left(t\right)\\ y = r \sin \left(t\right)\end{array}\right.$hänger ihop med cirkelns ekvation $x^2 + y^2 = r^2$?

Ja, $r=\sqrt{x^2+y^2}$och $t$ är vinkeln mellan $r$ och $x$-axeln, väl?