parameterfri from

Sätt in x- och y-koordinaterna från vardera punkt i 

Ax + By = C

Lös ekvationssystemet. 

Blir väl oändligt många lösningar, men man kan ju t.ex. sätta $A$, $B$ eller $C$ till $1$.

Har fortfarande svårt att förstå

$$\begin{gathered} P: A\left(1\right)+B\left(8\right)=C \\ Q: A\left(6\right) + B(-1)=C \\ A\left(1\right)+B\left(8\right) = A\left(6\right) + B(-1) \\ Ska jag sätta det så? \end{gathered}$$

Vet inte vad det är för mattekurs du läser. Men såhär är ett sätt att lösa det på:

Låt vektorn $\overrightarrow{PQ}$ vara riktningsvektor för linjen. Kalla den för $\overrightarrow{v}$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -9\end{array}\right) \\ Normalvektor \overrightarrow{n} till linjen blir exempelvis: \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right) \end{gathered}$$

$\overrightarrow{v}·\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}5\\ -9\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}9\\ 5\end{array}\right)=45-45 =\hspace{0.17em}0 (De är ortogonala)$

A och B fås utifrån normalvektorns koordinater.

$A\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}9 \wedge B\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}5$

$9x+5y=C$

Sätt in P eller Q och lös C:

$9·1+5·8=9+40=49$

Således blir det $9x+5y=49$

tomast80 skrev:

Blir väl oändligt många lösningar, men man kan ju t.ex. sätta $A$, $B$ eller $C$ till $1$.

Då går inte linjen genom varken P eller Q, än mindre de båda två.

beerger skrev:

tomast80 skrev:

Blir väl oändligt många lösningar, men man kan ju t.ex. sätta $A$, $B$ eller $C$ till $1$.

Då går inte linjen genom varken P eller Q, än mindre de båda två.

Linjens ekvation kan även skrivas

$\frac{9}{49}x+\frac{5}{49}y=1$

Vi har här en situation där vi har tre okända variabler och två ekvationer. Detta gör att vi har oändligt med lösningar.

Om man istället för att anta att ekvationen är på formen

Ax+By=C

antar att den är på den bekanta formen

y=kx+m

har vi bara två okända och parametrarna kan entydigt bestämmas.

I uppgiften frågar de efter en ekvation för den räta linjen, inte alla, och man kan få uppgiften på ovanstående form genom att ansätta att B= -1.

Dr. G skrev:

beerger skrev:

Visa föregående citat

tomast80 skrev:

Blir väl oändligt många lösningar, men man kan ju t.ex. sätta $A$, $B$ eller $C$ till $1$.

Då går inte linjen genom varken P eller Q, än mindre de båda två.

Linjens ekvation kan även skrivas

$\frac{9}{49}x+\frac{5}{49}y=1$

Givetvis.

$\lambda (9x+5y)=\lambda 49, \lambda \in \mathrm{ℝ}$

Detta ger alla ekvationer som uppfyller detta.

Men tycker personligen att det är smidigare att ha heltal när man skriver linjens ekvation på normalform.

tomast80 skrev:

Blir väl oändligt många lösningar, men man kan ju t.ex. sätta $A$, $B$ eller $C$ till $1$.

Detta stämmer givetvis! Läste fel, och trodde det stod att A = B = C = 1.

Ber om ursäkt!