Parameterfri form

Ja, om du kryssar två vektor i planet får du en normal $\vec{n}$ till planet.

Sedan ges planets ekvation av $\displaystyle \vec{n}\cdot ((x,y,z)-p0)=0$

Där $p0$ är en valfri punkt i planet.

Det är lite svårt, vad var normal är det längden av vektorn? Vad ska jag stoppa in ( x,y,x) ?

Skapa först två vektorer. Det spelar ingen roll hur du väljer, bara du får till två unika vektorer i planet. T.ex. så här:

Mina vektorer blir

$\vec{u}=(0,3,0)-(0,0,4)=(0,3,4)$

$\vec{v}=(2,0,0)-(0,0,4)=(2,0,-4)$

Sedan bildar man kryssprodukten (vektorprodukten)

$\vec{n}=u\times v=(-12,-8,-6)$

Nu till saken med normalvektorer, det finns ett oändligt antal och de kan vara olika långa. T.ex. är

$(-6,-4,-3)$

Också en normalvektor eftersom den vektorn också är vinkelrät mot planet. Notera hur vi bara delade vektorn med 2. Den har fortfarande samma riktning. Vi kan också vända på normalen genom att multiplicera med -1. Då får vi en samma vektor fast åt andra hållet. Den vektorn är ju naturligtvis också vinkelrät mot planet.

$\vec{n}=(6,4,3)$

Jag tycker att den vektorn är snyggare och enklare att räkna med, därför använder jag den.

Slutligen tar vi en av våra punkter t.ex. $p0=(2,0,0)$ och ställer upp vår ekvation

$(6,4,3)\cdot ((x,y,z)-p0)=0$

$6x+4y+3z=12$

Det spelar alltså ingen roll vilken längd du väljer på normalvektorn eftersom ekvationen skalas om.

$12x+8y+6z=24$ Beskriver exakt samma plan.

Tack jag förstår nu mycket bättre, det är en sak som jag skulle vilja fråga om. Vad ska jag göra med p0

6x+4y+3z-(2,0,0)=0 

Det är också en skalärprodukt. så här

$\vec{n}\cdot (\mathbf{r}-p0)=\vec{n}\cdot (x,y,z)-\vec{n}\cdot p0$

Och om vi bara tittar på den sista skalärprodukten ser vi att

$\vec{n}\cdot p0= (6,4,3)\cdot (2,0,0)=12$

Alltså blir ekvationen

$6x+4y+3z-12=0$

Tack för hjälpen😊