parameterframställning för skärningslinje

låt K vara planet med ekvationen K : 2x − y − 2z = 3

låt R vara planet med ekvationen R: y = 0

bestäm en parameterframställning för skärningslinjen mellan planen

Det jag är lite brydd över är att jag är osäker på exakt vad det är jag får fram.

$2 x - y - 2 z = 3 y = 0 l å t z v a r a n å g o t r e e l l t t a l t 2 x - 2 t = 3 x = 3 / 2 + t y = 0 z = t f ö r p a r a m e t e r f r a m s t ä l \ln i n g e n (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

och det är rätt svar. men jag har ingen riktigt förståelse för vad jag har gjort. boken gav ett exempel utan någon vidare förklaring.

vad representerar egentligen matrisen som innehåller (3/2) ? det är ju lätt att se bokens exempel att det verkar vara alla termer i ekvationen ovan som inte innehåller t. och sedan i nästa matris är alla termer som innehåller t.

med vad betyder matriserna egentligen?

Matriserna som du skriver om kallas kolonnvektorer.

Kolonnvektorn som innehåller $3/2$ representerar en punkt som ligger på linjen; punkten som motsvarar parametervärdet $t=0$ . Varje parametervärde motsvarar en unik punkt på linjen.

Parametervärdet (talet) $t=1$ motsvaras av punkten $(3/2,0,0) + (1,0,1)$ .
Parametervärdet (talet) $t=-1$ motsvaras av punkten $(3/2,0,0) - (1,0,1)$ .
Parametervärdet (talet) $t=2$ motsvaras av punkten $(3/2,0,0)+2(1,0,1)$ .

och så vidare. Vektorn $(1,0,1)$ representerar avståndet mellan två "heltalspunkter" på linjen; skärningslinjen ses alltså som den gamla vanliga tallinjen från lågstadiet, fast nu ligger den på sned och har blivit utdragen.

$[\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ representerar startvärdet för x, y respektive z. $t [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ är riktningsvektorn. Det din ekvation säger är i princip "linjens x-, y- och z-värden fås genom att börja på (3/2), 0, respektive 0, och gå i riktningen t multiplicerat med +1, 0, respektive +1". Personligen tycker jag att det är mycket lättare att använda gausseliminering för att hitta skärningspunkter mellan två plan:

$\{\begin{cases} 2 x - y - 2 z = 3 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 & - 1 & - 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}]$

Detta kan nu översättas tillbaka:

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{2} + t y = 0 \\ z = t \end{cases} ~ [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ , där t är en reell parameter.

Svara