Parameterform, ekvation och skärning för plan och linjer i ℝ3

Hej!

Jag har en uppgift jag har löst men är väldigt osäker på. Kan någon se om jag har tänkt rätt? Tack på förhand!

Punkterna P, Q och R har koordinater

$P = \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right], Q = \left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right], R = \left[\begin{array}{c}4\\ 6\\ -1\end{array}\right]$

och planet Π ges av ekvationen

$2x - y + 2z = 3$

(a) Bestäm en parameterform till linjen L som går genom P och Q.
(b) Går linjen L genom punkten R?
(c) Bestäm skärningen mellan Π och L.
(d) Bestäm en ekvation för planet som är vinkelrät mot L och går genom P.

a)

Vi vill skriva linjen som går genom P och Q på parameterform. Vi låter linjen gå från P till Q och då får vi $L = \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right] + t\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right]$.

b)

Vi vill se om L går genom punkten R. Vi sätter upp ett ekvationssystem där L är lika med R.

$$\begin{gathered} 1 - 2t = 4 \\ 2 - 2t = 6 \\ t = -1 \end{gathered}$$

När vi löser detta ekvationssystem med t.ex. gausselimination kommer vi att se att det inte är inkonsistent. Det betyder att L inte går genom punkten R.

c)

Vi vill bestämma skärningen mellan Π och L.

För att göra det sätter vi in L i Πs ekvation. Då får vi:

$2(1-2t) - (2-2t) + 2t = 3 \iff 0 = 3$

Men noll är givetvis inte lika med tre, därför skär L inte Π.

d)

Vi vill bestämma en ekvation för ett plan som är vinkelrät mot L och går genom P. Om planet är vinkelrät mot L agerar Ls riktningsvektor som dess normalvektor.

$\overrightarrow{n} = \left[\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 1\end{array}\right] \Rightarrow -2x - 2y + z = c$

Vi vill ta reda på c för att få fram ekvationen. Vi vet att P finns på planet. Vi sätter därför in P i planets ekvation.

$-2\left(1\right) - 2\left(2\right) + 1\left(0\right) = c = -6$

Vi kan därför skriva ekvationen som

$2x + 2y - z = 6$