parameterform av en funktion

Themuslim7 skrev:

Jag kan exempelvis ha funktionen

y=(ln(3x)+5^x)/sin(x) och bara själv välja exempelvis att parametrarna ska vara :$\left\{\begin{array}{l}x=t^2-10t\\ y=\sqrt{(t+2)(t+6)}\end{array}\right.$

där allt är påhitt. 

Det där är inte en korrekt parametrisering av  

$y=\dfrac{\ln(3x)+5^x}{\sin(x)}$

Dr. G skrev:

Themuslim7 skrev:

Jag kan exempelvis ha funktionen

y=(ln(3x)+5^x)/sin(x) och bara själv välja exempelvis att parametrarna ska vara :$\left\{\begin{array}{l}x=t^2-10t\\ y=\sqrt{(t+2)(t+6)}\end{array}\right.$

där allt är påhitt. 

Det där är inte en korrekt parametrisering av  

$y=\dfrac{\ln(3x)+5^x}{\sin(x)}$

inte? Så man kan alltså inte välja slumpmässiga parametrar? Vilken metod använder man då? Hur vet du att det  inte är en korrekt parametrisering?

Dina x och y ska ha den relation som ges av funktionen.

Laguna skrev:

Dina x och y ska ha den relation som ges av funktionen.

Vad blir parametriseringen i detta fall då?

Det finns inget "bra" sätt att parametrisera den här kurvan på, så det är bättre att låta den vara som den är (om du vill: x = t). 

Du kan också ta t.ex

$x = \arcsin(t)$

vilket ger

$y = \dfrac{\ln(3\arcsin(t))+5^{\arcsin(t)}}{t}$

och så tillkommer gränser på parametern t. 

Dr. G skrev:

Det finns inget "bra" sätt att parametrisera den här kurvan på, så det är bättre att låta den vara som den är (om du vill: x = t). 

Du kan också ta t.ex

$x = \arcsin(t)$

vilket ger

$y = \dfrac{\ln(3\arcsin(t))+5^{\arcsin(t)}}{t}$

och så tillkommer gränser på parametern t. 

ok, varför valde du just arcsin? För vilka anledningar skulle man vilja parametrisera en funktion?

x = arcsin(t) gjorde nämnaren enkel, men täljaren mer komplicerad. Det finns inget "bra" sätt att parametrisera den här kurvan.

Punkter på en cirkel ligger på ett konstant anstånd från medelpunkten och de kan då enkelt bestämmas med en parameter (vinkeln till given axel). 

Andra kurvor som inte heller kan skrivas på form y = f(x) kan däremot parametriseras.

Dr. G skrev:

x = arcsin(t) gjorde nämnaren enkel, men täljaren mer komplicerad. Det finns inget "bra" sätt att parametrisera den här kurvan.

Punkter på en cirkel ligger på ett konstant anstånd från medelpunkten och de kan då enkelt bestämmas med en parameter (vinkeln till given axel). 

Andra kurvor som inte heller kan skrivas på form y = f(x) kan däremot parametriseras.

så om jag förstått det rätt byter man ut x för att göra funktionen enklare (om funktionen som du sa blir enklare). Så är detta en bra parametrisering av denna funktion: y=x^4+x^2-10 : x=rotenur(t)?

Du kan parametrisera så, vilket ger 

y(t) = t² + t - 10

Det "naturliga" valet på parameter är båglängden, men då är vi utanför matte 4. 

Dr. G skrev:

Du kan parametrisera så, vilket ger 

y(t) = t² + t - 10

Det "naturliga" valet på parameter är båglängden, men då är vi utanför matte 4. 

Jag förstår, kanske lite fel av mig men egentligen handlar detta om universitetsmatten jag läser. Valde matte 4 för att fler skulle våga klicka. I vilken kurs blir man säker på användandet av parametrar? Jag läser linjär algebra och analys.

Det tas upp inom analys. Även för plana kurvor så blir det ju flerdimensionellt, så möjligen flervariabelanalys eller vad kursen nu kan heta på ditt lärosäte. 

Dr. G skrev:

Det tas upp inom analys. Även för plana kurvor så blir det ju flerdimensionellt, så möjligen flervariabelanalys eller vad kursen nu kan heta på ditt lärosäte. 

Du sa att det inte var korrekt parametrisering av funktionen, berodde det på att y= ... inte stämde överens med x= ... eller något annat? Om jag ville parametrisera "endast" x och sedan utefter parametern skapa y(t), skulle det fortfarande bli fel parametrisering om jag inte bryr mig om att funktionen ska bli enklare?

Från början har du en här en relation mellan x och y:

y = f(x)

Den relationen måste fortfarande uppfyllas efter parametrisering.   Annars får du ju något annat. 

Dr. G skrev:

Från början har du en här en relation mellan x och y:

y = f(x)

Den relationen måste fortfarande uppfyllas efter parametrisering.   Annars får du ju något annat. 

yes, tänkte det, tackar.

När funktioner kommer från någon fysikalisk situation händer det ofta att man kan och vill använda tiden som parameter.

En annan vanlig möjlighet är att det finns någon intressant vinkel som entydigt bestämmer resten av variablerna.