Vektorer, plan och parameterform

Här vet jag att man ska veta att den här ekvationen är ett plan men jag förstår inte lösningen.

Visa spoiler
Genomgång av problemet

$\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{r} = b \overset{⇀}{a} = (a x, a y, a z) a x + a y + a z = b b = 0 \Rightarrow o \in p l a n e t r a = \frac{\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{r}}{||\overset{⇀}{a}||} = \frac{b}{||\overset{⇀}{a}||}$

Facit:

plane through pointwith positionvector $(b / {|\overset{⇀}{a}|}^{2})$ a perpendicular to a

Rent intuitivt så mäter dot product hur mycket en vektor är riktad mot en annan, med värdet 0 om de är ortogonala. Man kan alltså skriva ekvationen för ett plan somgår genom punkten p0 och har normal en n som punkterna p för vilka n * (p - p0) = 0. Om n = (a, b, c) och p = (x, y, z), återfås den vanliga ekvationen för ett plan.

Gustor skrev:
Rent intuitivt så mäter dot product hur mycket en vektor är riktad mot en annan, med värdet 0 om de är ortogonala. Man kan alltså skriva ekvationen för ett plan somgår genom punkten p0 och har normal en n som punkterna p för vilka n * (p - x0) = 0. Om n = (a, b, c) och p = (x, y, z), återfås den vanliga ekvationen för ett plan.

Men nu är de inte ortogonala utan lika med ett reelt tal b. Skulle man kunna skriva axrx+ay+ry+az+rz=b ?

Jag förstår inte hur de har fått: $r a = \frac{\overset{⇀}{a} . \bar{r}}{|\bar{a} ||}$ , hur försvann cos, det gör den bara om vinkeln mellan dem är 0? och hur försvann längden av r, hur vet vi att längden är 1?

EDit:

Vänta lite, ra representerar projektionen av a på r och den går att räkna ut med följande ekvation:

men då tycker jag att vår ekavtion borde se ut såhär: $r a = \frac{\overset{⇀}{a} * \overset{⇀}{r}}{|\overset{⇀}{r}|} = |\overset{⇀}{r}| \cos θ$

Hur kan facit då få b/ $|a|$ ^2 ??

Jag skulle lösa problemet så här.

Först försöker vi hitta något ${\vec{r}}_{0}$ som uppfyller ekvationen. Vi försöker hitta ett ${\vec{r}}_{0}$ som är parallellt med $\vec{a}$ . Dvs ${\vec{r}}_{0} = λ \vec{a}$ .

$λ \vec{a} ∙ \vec{a} = b \Rightarrow λ = \frac{b}{{|\vec{a}|}^{2}}$ . Så ${\vec{r}}_{0} = \frac{b}{{|\vec{a}|}^{2}} \vec{a}$ .

Låt nu $\vec{r}$ vara ortsvektorn till en godtycklig punkt som uppfyller ekvationen.

Dvs vi har

$\vec{r} ∙ \vec{a} = b$

${\vec{r}}_{0} ∙ \vec{a} = b$ .

Om vi drar ovanstående ekvationer från varandra så får vi

$(\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) ∙ \vec{a} = 0$ . Notera att om $\vec{r}$ uppfyller denna ekvation så uppfyller den också ursprungsekvationen (eftersom ${\vec{r}}_{0} ∙ \vec{a} = b$ ).

Så ekvationen $\vec{r} ∙ \vec{a} = b$ är ekvivalent med ekvationen $(\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) ∙ \vec{a} = 0$ , vilket är ekvationen för ett plan genom ${\vec{r}}_{0}$ som är vinkelrät mot $\vec{a}$ , dvs $\vec{a}$ är en normalvektor till planet.

Svara

Visa senaste svar