Paramatisering Green

Med Greens formel får vi ju:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}-\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{1}{6}$

för att beräkna integralen av $\gamma$ behöver vi veta integralen av $\gamma_1$. Vi beräknar $\gamma_1$-integralen med hjälp av en parametrisering.

AlvinB skrev:

Med Greens formel får vi ju:

$\displaystyle\int_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}-\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\frac{1}{6}$

för att beräkna integralen av $\gamma$ behöver vi veta integralen av $\gamma_1$. Vi beräknar $\gamma_1$-integralen med hjälp av en parametrisering.

 Men liksom, vi har en kurva den ordinarie kurva som står i uppgiften,det är kurvan som är $\gamma$ ?  och sen lägger vi till en ny kurva $\gamma_1$ och därför eftersom vi lägger till den, måste vi dra bort den sen.

men jag fattar inte varför man väljer att just paramatisera den? Varför tex inte räkna den som en vanlig" integral typ ??? 

Hur skulle man göra då, menar du?

Smaragdalena skrev:

Hur skulle man göra då, menar du?

Men den ser väl ut något såhär, och sen räkna ut ett bra värde på blåa y där som jag markerat ut? det kan man väl göra?  (från origo)

Jag tror att du behöver repetera definitionen av kurvintegral Mr Lill_Ludde. Hur definieras kurvintegralen

    $\displaystyle\oint_{\gamma_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$

i din kurslitteratur?

Det kan möjligen vara så att du tänker på potentialfält, där värdet för en kurvintegral bara beror på startpunkt och slutpunkt, inte på vilken väg det är.

Smaragdalena skrev:

Det kan möjligen vara så att du tänker på potentialfält, där värdet för en kurvintegral bara beror på startpunkt och slutpunkt, inte på vilken väg det är.

Nej det tror jag inte

Så här ser ju den här ut, right. 

den gråa kurvan ges ju av $\gamma$ i det här fallet. Punkt.
den rosa kurvan måste vi lägga till för att få ett slutat område - så vi kan tan tillämpa Green. Denna rosa kurvan som vi lägger till döper vi till $\gamma_1$ . Punkt.

$\gamma$ ges av gränserna $[x,\sqrt{x}]$ Punkt.

Och $\gamma_1$ dvs den rosa kurvan. Där säger facit att vi ska paramatisera. Varför måste vi paramatisera? Då frågar du: Hur skulle du annars göra? 

ja, jag tänkte (eftersom inte förstår varför den ska paramatiseras) eftersom vi ser att den rosa kurvan, $\gamma_1$  går från $[-\infty, \infty]$

Se bild

Då tänkte jag att man kanske kan begärnsa den rosa kurvan, $\gamma_1$ med de limegröna i figuren ovan, och då säga att $\gamma_1 \in [0,y]$ (vad nu y värdet kan vara) 

Du ska beräkna integralen av F gånger r längs kurvan. Du kan säga att y = x, och skriva en integral med x och dx. Har du parametriserat då? Det råkar sammanfalla med parametriseringen x=t, y=t.

Varför spelar det nån roll att vi kan utsträcka den rosa kurvan till oändligheten?

När du får frågan "hur skulle du annars göra", så ge ett matematiskt svar, så kan vi bedöma om det innehåller nån parametrisering. Hur räknar du ut svaret?

Det är endast om du har ett potentialfält som du kan beräkna värdet för en kurvintegral genom att ta slutvärdet-startvärdet. I alla andra fall spelar det roll vilken väg man tar mellan startpunkt och slutpunkt. Det blir alltså ett annat värde om man följer den rosa kurvan jämfört med om man följer den grå kurvan (eller den limegröna).

Nä tror inte ni fattar vad jag menar, och jag fattar inte vad ni menar heller. Så vi skiippar det, jag memorerar det här bara ;-) 

mrlill_ludde skrev:

Nä tror inte ni fattar vad jag menar, och jag fattar inte vad ni menar heller. Så vi skiippar det, jag memorerar det här bara ;-) 

 Där tror jag att du har fel. Jag tror att vi förstår precis vad det är du inte förstår, men du förstår det inte själv. Jag tror att Albikoi slog huvudet på spiken när hen rekommenderade att du skall repetera definitionen va kurvintegral

Att försöka memorera något i matematik utan att förstå, anser jag är 100 % bortkastad möda.

Vad vi försöker säga är att det här med att beräkna en kurvintegral med en parametrisering är definitionen av en kurvintegral. Det är det mest grundläggande sättet att beräkna en kurvintegral på.

Om man slår upp begreppet 'kurvintegral' (exempelvis på Wikipedia) kommer följande definition upp:
$\displaystyle\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right)\cdot\mathbf{r}'\left(t\right)\ dt$

där $\mathbf{r}(t),a\leq t\leq b$ är en parametrisering av kurvan. Parametriseringar är alltså egentligen det "vanliga" sättet att beräkna en kurvintegral på. Allt det här med Greens formel och Stokes sats är sätt att beräkna kurvintegraler under vissa specifika förutsättningar, men parametriseringsmetoden kan (nästan) alltid användas.

Eftersom Greens formel och Stokes sats bara gäller för slutna kurvor är det vanligaste scenariot där vi använder parametriseringar när vi skall beräkna kurvintegraler av kurvor som inte är slutna.