Parallellogram och vektorer

Problem:

Betrakta de fyra punkterna A = (3, 4, 5), B = (6, 2, 7), C = (4, 3, 8), D = (1, 5, 6).

(a) Visa att fyrhörningen ABCD är en parallellogram, bestäm dess area, samt ekvationen för planet fyrhörningen ligger i.

(b) Det finns precis en punkt P i xy-planet vars ortogonala projektion på fyrhörningens plan är A. Bestäm punkten P.

Min fråga just nu kretsar kring lösningsförslaget till fråga a):

Med $\vec{A B}$ = (3, −2, 2), $\vec{A C}$ = (1, −1, 3) och $\vec{A D}$ = (−2, 1, 1) har vi att $\vec{A C}$ = $\vec{A B}$ + $\vec{A D}$ vilket visar att ABCD är en parellellogram. Arean ges av | $\vec{n}$ | där

$\vec{n}$ $=$ $\vec{A B}$ $X$ $\vec{A D}$ = $|\begin{matrix} 3 & - 2 & \vec{e_{1}} \\ - 2 & 1 & \vec{e_{2}} \\ 2 & 1 & \vec{e_{3}} \end{matrix}| = - 4 \vec{e_{1}}$ $- 7 \vec{e_{2}}$ - $\vec{e_{3}}$ = (-4,-7,-1)

Det jag inte förstår närmare specifikt är att när jag försöker rita med deras vektorer som står på lösningsförslaget ovan får jag inte fram parallellogram. Borde inte fyrhörningen bestå av följande vektorer: AB, BC, CD, AD, AC och BD?

Jag tolkar det som att du inte tycker att det ser ut att vara ett parallellogram när du ritar ut punkterna? Hur gjorde du för att rita ut punkterna? Då de är koordinater i ett 3 dimensioner så är det lite pilligt att rita ut i 2 dimensioner (till exempel på ett papper).

När jag ritar ut punkterna i en interaktiv 3D-vy och ställer kameran i en lämplig vinkel så tycker jag att det ser ut att kunna vara ett parallellogram.

Fyrhörningen har fyra "väggar" och två diagonaler. För att avgöra om det är en parallellogram använder de ett samband mellan väggarna och diagonalerna: nämligen att vektorsumman av två intilliggande väggar blir en diagonal. Om det stämmer är det en parallellogram, annars inte. Man behöver därför inte para ihop hörnen på alla sätt som går.

tralle: Snygg bild, tydligare än den jag försökte rita på papper haha

Skaft: Jaha men då förstår jag bättre!

Tack!

Skaft skrev:
Fyrhörningen har fyra "väggar" och två diagonaler. För att avgöra om det är en parallellogram använder de ett samband mellan väggarna och diagonalerna: nämligen att vektorsumman av två intilliggande väggar blir en diagonal. Om det stämmer är det en parallellogram, annars inte. Man behöver därför inte para ihop hörnen på alla sätt som går.

Gäller inte det alla fyrhörningar? AC = AB + BC.

Man borde kolla om AB = DC, t.ex.

Hm, jo jag var nog lite för generell där. Det ska väl gälla för diagonalen från samma hörn, då är det en parallellogram... om jag inte tänker fel igen :)

Skaft skrev:
Hm, jo jag var nog lite för generell där. Det ska väl gälla för diagonalen från samma hörn, då är det en parallellogram... om jag inte tänker fel igen :)

Vad menas med att 'det ska gälla för diagonalen från samma hörn?' Har inte begripit detta helt än märker jag

Som de har gjort i lösningen, de har valt hörnet A. Därifrån drar de streck till de tre andra hörnen, så de bildar två intilliggande väggar och en diagonal. Om de två väggarna summeras till diagonalen är det en parallellogram. Men det är alltså viktigt att dessa tre sidor går ihop i samma hörn, vilket inte framgick i mitt första inlägg.

Skaft skrev:
Som de har gjort i lösningen, de har valt hörnet A. Därifrån drar de streck till de tre andra hörnen, så de bildar två intilliggande vägar och en diagonal. Om de två väggarna summeras till diagonalen är det en parallellogram. Men det är alltså viktigt att dessa tre sidor går ihop i samma hörn, vilket inte framgick i mitt första inlägg.

Ja! Det förstår jag nu, att ska det vara två intilliggande väggar och en diagonal. Men hmm...

Kan tillägga också att hela den uppgiften känns oklar för mig.. Har försökt hitta en formel som kan förklara hur de fick till arean dvs -4,-7-1. Hur räknade de i matrisen?

Jag vet att jag har läst om detta någonstans förut men helt glömt bort.

Kryssprodukten mellan två vektorer ger en vektor som:

* är vinkelrät mot båda vektorer (inte så relevant i den här uppgiften)

* är lika lång som arean på den parallellogram vektorerna spänner upp.

Matrisen är ett sätt att beräkna kryssprodukten. Resultatet (-4,-7,-1) är inte en area, men längden av den vektorn är arean.

Skaft skrev:
Kryssprodukten mellan två vektorer ger en vektor som:

* är vinkelrät mot båda vektorer (inte så relevant i den här uppgiften)

* är lika lång som arean på den parallellogram vektorerna spänner upp.

Matrisen är ett sätt att beräkna kryssprodukten. Resultatet (-4,-7,-1) är inte en area, men längden av den vektorn är arean.

Tack! Tror jag äntligen fattat nu med hjälp av er och kurslitteraturen... uppgiften tog mig lite längre tid än förväntat..

Dock fick jag fram 4+7+1 när jag löste matrisen, medan de fick negativa värden. Så återigen något jag har missat

Antar att du räknar lite bakvänt på tecknen då på nåt sätt. Vad som händer är att matrisens determinant beräknas, och det kan göras på olika sätt. Ofta är Sarrus regel den första man lär sig, där man multiplicerar diagonalerna (6 diagonaler, då man låter dem wrappa runt till andra sidan). De som går neråt-höger räknas positivt, de som går uppåt-höger räknas negativt.

Så om man tar diagonalerna som innehåller e1, t.ex.:

Den som går neråt-höger: e1*-2*1 = -2e1

Den som går uppåt-höger: 2*1*e1 = 2e1.

Men den andra ska alltså räknas negativt, så vi drar bort den från den första: -2e1 -2e1 = -4e1.

Skaft skrev:
Antar att du räknar lite bakvänt på tecknen då på nåt sätt. Vad som händer är att matrisens determinant beräknas, och det kan göras på olika sätt. Ofta är Sarrus regel den första man lär sig, där man multiplicerar diagonalerna (6 diagonaler, då man låter dem wrappa runt till andra sidan). De som går neråt-höger räknas positivt, de som går uppåt-höger räknas negativt.

Så om man tar diagonalerna som innehåller e1, t.ex.:

Den som går neråt-höger: e1*-2*1 = -2e1

Den som går uppåt-höger: 2*1*e1 = 2e1.

Men den andra ska alltså räknas negativt, så vi drar bort den från den första: -2e1 -2e1 = -4e1.

Tusen tack! Löste det så tillslut (dvs med Sarrus regel).

Nu är hela uppgiften löst! :)

Svara

Visa senaste svar