parallella vektorer

Att skalärprodukten blir 0 betyder att de är vinkelräta, inte parallella.

Oj, det hade jag helt blandat ihop. vad gäller för när vektorer är parallella? Finns det en regel?

Då är den ena vektorn lika med en skalär gånger den andra vektorn.

Okej! Hur får jag fram värdet på skalären? Går det att använda division så här: 

(-1 , 5)=Skalär∙(3 , k)=

=(-1 , 5)/(3 , k)=skalär

Eller är det något helt annat sätt jag bör göra?

För att få första koordinaten i w (3) multiplicerar man första koordinaten i v (-1) med -3. 

För att få andra koordinaten i w multiplicerar man andra koordinaten i v med ... så den blir ...

Så skalären blir alltså -3+5k? Alltså genom att hitta skalärprodukten? Och sedan sätter jag in skalären (kallar den s) i v=s∙w för att sedan multiplicera in s i vektorn w:

(-1 , 5)=( ((-3+5k) ∙ 3) , ((3+5k) ∙ k) )=

=( 3(-3+5k) , k(3+5k) )=

=(-9+15k , 3k+5k²)

Är det bara att lösa k efter det och se för vilka/vilket värde på k som villkoret är möjligt?

Nej, du skall multiplicera, inte addera.

Hjälper några exempel?

(1,1) är parallell med tex (2,2) (4,4) och (-10,-10), båda värden har alltså gångrats med samma tal.

Så om du skulle vilja ha (5,k) parallell med (1,2) så ser vi direkt från första talet att ettan har blivit en 5a, så det ingångrade talet är 5, och k blir då 2*5=10.

Övningsuppgift:

Låt $u=(5,3)$ och $v=(0,0)$

Är $u$ och  $v$ ortogonala?

Är $v$ parallell med $u$?

Är $u$ parallell med $v$?

(-1 , 5)∙(3 , k)=

=-3+5k

Alltså (-1 , 5)=(-3+5k)(3 , k) vilket blir:

(-1 , 5)=( -3+5k + 3 , 3+5k + k )=

=( -5k , 3+6k )

k=1/5?

Det här har inget att göra med skalärprodukt. Glöm att den finns och börja om.

För att (3,k) ska vara lika med x*(-1,5)=(-x,5x) så måste -x=3 och k=5x. Lös ut x och k.

Okej! Nu tror jag att jag har förstått det.

"För att v och w ska vara parallella måste följande villkor uppfylls w=x∙v. 

w=x(-1 , 5)=

=(-x , 5x)

alltså…

(3 , k)=(-x , 5x)

Detta visar att -x=3 och k=5x vilket ger att x=-3 och 

k=5∙-3=

=-15

Vektorerna är alltså parallella om k=-15"

Men sen undrar jag även om det jag har skrivit på "a" är rätt? jag skrev såhär...

"(3 , 2)∙(3 , k)=

=(3∙3)+(2∙k)=

=9+2k

Eftersom u∙w=0 medför att värdet på k ger ortogonala vektorer så måste k ge ett värde som gör att VL≠0. 

För att beräkna vilket värde på k som uppfyller VL≠0 beräknas 9+2k=0:

9+2k-9=0-9=

=2k=-9

2k/2=-9/2=

=k=-9/2

Ett värde som medför att vektorerna u och w inte är parallella är alltså då k≠-9/2."

Nu går du tillbaka till skalärprodukten igen. Du bör använda vad som gör parallella vektorer unika; den ena kan uttryckas som en multipel av faktor gånger den andra. De har alltså samma eller direkt motsatt riktning!

Du får också självklart mer än ett värde på a). Till exempel $k = 3,\pi,4,\sqrt{77},...$ gör också att de inte är parallella.

Du vill ha:

$\vec{u} \neq \lambda \vec{w}$

För något $\lambda$; vilka/vilket $k$ uppfyller detta?

Om du vill använda skalärprodukten för att avgöra om två vektorer är parallella så tänk på att

u•w= |u||w|cos(a), där a är vinkeln mellan u och w. Vektorerna är parallella om a = 0 eller a = $\pi$. Dvs om cos(a) = $\pm 1$.

Det betyder att vektorerna u och w är parallella om och endast om

|u•w|² = |u|²|w|².

Du kan göra a) med tekniken ovan och jämföra med den andra metoden, dvs att hitta k och x sådana att (3, 2) = x(3, k).

Alltså så här...

För att vektorerna ska vara måste följande villkor uppfylls w=x∙u. 

För att vektorerna då inte ska vara parallella så måste w≠x∙u. Genom att beräkna för vilka/vilket k-värden som uppfyller w=x∙u kan vi även svara på vilka/vilket k-värden som uppfyller w≠x∙u

... 

Jag ska testa det du skrev @PATENTERAMERA

Jag har fått fram detta...

Vektorerna är alltså parallella om k=-3 och inte parallella om k≠-3

(u•w)² = (9 + 2k)²

|u|² = 13

|w|² = 9 + k²

(9 + 2k)² = 13(9 + k²) $\Rightarrow$… $\Rightarrow$ k = 2. Således är u och w inte parallella för alla värden på k utom 2.

Tack så jätte mycket för all hjälp! Jag har lärt mig så mycket!