Parallella tangenter

Har du ritat? Jag skulle aldrig ge mig på att lösa den här uppgiften utan att klottra lite först. 

Jodå, jag har både ritat och klottrat. Försökt använda Desmos på nätet för att få närbild på det intressanta området kring origo. Tro mig, har försökt lösa detta på alla håll och ledder.

Det du har räknat ut är att om x = 2/3 har de båda tangenterna samma lutning, men det är inte vad man frågar om.

Problemet är ju att de båda tangenterna inte har samma x-värde där de tangerar linjen y = a utan samma y-värde. Hur kan du ta hänsyn till detta?

För vilka x-värden skär linjen de två kurvorna?

Jag tackar Smaragdalena och Dr. G för vänligt ledande frågor som vid det här laget borde ha hjälpt mig att knäcka den här nöten. Jag är dock så tiltad för närvarande att jag har svårt att resonera vettigt. Jag har redan tidigare insett att jag måste få två skilda x-värden där y = a skär de två olika kurvorna. För kurvan y = x^2 borde x-värdet blir kvadratroten ur a och på samma vis kubikroten ur a för kurvan y = x^3. Jag har plottat in detta på Desmos och allt ser ut att stämma - grafiskt.
Men, Smaragdalena, har inte två parallella tangenter samma lutning?
Och - hur ska jag tänka för att kunna gå vidare?

Så här skulle jag göra: Välj ett x-värde för kurvan $y = x^3$. En tangent till kurvan går genom punkten $(x,x^3)$ och har lutningen $k = 3x^2$. Följ linjen $y=a=x^3$ åt vänster tills den kommer fram till kurvan $y=x^2$. Vilka koordinater har denna punkt? Vilken lutning har tangenten i denna punkt? Koordinaterna och lutningen skall uttryckas i x. Sätt de båda tangenternas lutning lika och beräkna x. Räkna ut $x^3$, så har vi värdet för a.

Precis, för andragradskurvan ska du då beräkna derivatan (uttryckt i a) när x = sqrt(a). För tredjegradskurvan ska du beräkna derivatan (uttryckt i a) när x = cbrt(a). Dessa derivator ska vara lika. 

Hur blir ekvationen?

Jag vill tacka både Smaragdalena och Dr. G för god vägledning. Jag benämnde x-koordinaten vid skärningspunkten för y = a = x^3 som Xa och vid den andra punkten mot kurvan x^2 som Xb. Detta ledde till att y-koordinaterna kunde uttryckas som Xa^3 = Xb^2 och härav Xb = Xa^3/2. (Krångligt det här när man inte kan dra till med upphöjda och nedsänkta tecken). Derivatorna blir 3Xa^2 respektive 2Xb. Xb ersättes enligt ovan och ekvationen blir: 3Xa^2 = 2Xa^3/2.
Lite hyfsande av denna ekvation leder till att Xa = 0,44444…. och y = a = x^3 = 0,o88…
Under resten av kvällen en klädsam rodnad på mina kinder över mina korkade tankefel men framför allt upprepade slarvfel i det räknemekaniska.

Testade också Dr. G:s version genom att uttrycka respektive skärningspunkts koordinater i a. Ekvationen blev då:
2 x a^1/2 = 3 x a^2/3
vilket ger a mera direkt: (2/3)^6 = 0,088..
Båda vägarna ger tillsammans en klarare bild; vilket jag var ute efter. Tack!