Parabel

Du har räknat ut var tyngdpunkten är på höjden 1,15 m igen, men B är när tyngdpunkten är på höjden 0.

Laguna skrev:

Du har räknat ut var tyngdpunkten är på höjden 1,15 m igen, men B är när tyngdpunkten är på höjden 0.

Jag förstår inte riktigt vad du menar, vilken sträcka syftar du på?

Du verkar lösa ekvationen y(x) = 0, men du borde lösa ekvationen y(x)=-1,15 för att längdhopparen skall hamna på marken efter hoppet.

Smaragdalena skrev:

Du verkar lösa ekvationen y(x) = 0, men du borde lösa ekvationen y(x)=-1,15 för att längdhopparen skall hamna på marken efter hoppet.

Men jag använde formeln för x_max och inte y(x)?

I den formeln ingår ingen vetskap om att vi landar 1,15 m längre ner än vi började från. Formeln antar att landningspunkten är på samma höjd som utgångspunkten.

Laguna skrev:

I den formeln ingår ingen vetskap om att vi landar 1,15 m längre ner än vi började från. Formeln antar att landningspunkten är på samma höjd som utgångspunkten.

Okej, då förstår jag men hur kan jag ta mig vidare. Ska jag lösa ut t ur y(x)=-1,15=$v_0*\sin \alpha *t-\frac{gt²}{2}$

eller kan jag fortfarande ta hjälp av min första formel.

Att lösa ut t låter som en utmärkt idé, det är ju en andragradsekvation.

Att använda din första formel är betydligt krångligare eftersom du måste anpassa kastbanan till villkoren.

Jroth skrev:

Att lösa ut t låter som en utmärkt idé, det är ju en andragradsekvation.

Att använda din första formel är betydligt krångligare eftersom du måste anpassa kastbanan till villkoren.

$-4,91t²+2,94t+1,15=0$ gav det enda logiska svaret t=0,87 s.

x=$v_0*\cos \alpha *t=8,2*\cos \left(21\right)*0,87=6,6 m$ vilket är rätt svar, tack för all hjälp! 

Skulle någon kunna visa hur jag kan använda min första formel för att få samma svar?

Du vill räkna ut d i figuren, den lila linjen är den justerade kastparabeln med okänd vinkel $\alpha$ och okänd utgångshastighet $v_0$.

Du känner till några punkter på kastparabeln (t.ex. hastigheten vid y=1.15), vilket betyder att du kan bestämma $v_0$ och $\alpha$ för den. Ett bekvämt sätt att bestämma parametrarna är att utnyttja den negativa tiden du fick då du löste andragradsekvationen. Tidsförskjutningen motsvarar tiden det tar för längdhopparen att ta sig från y=0 till tyngdpunktslinjen (y=1.15m).

Ett annat sätt är att jämföra derivatan i den kända punkten med kurvan för  kastparabeln:

$y(x)=x\tan(\alpha)-\frac{gx^2}{2v_o^2}(1+\tan^2(\alpha))$

När du bestämt parametrarna $v_0\approx9.48\mathrm{m/s}$ och $\alpha\approx 36.13^{\circ}$ ges $d$ av

$d=\frac{\overline{x}+x}{2}\approx 6.6\mathrm{m}$

Där kastvidden $\overline{x}$ ges av

$\overline{x}=v_0^2\frac{\sin(2\alpha)}{g}$

Och motsvarande för $x$ (fast med vinkel 21° och utgångshastighet 8.2m/s)

Jroth skrev:

Du vill räkna ut d i figuren, den lila linjen är den justerade kastparabeln med okänd vinkel $\alpha$ och okänd utgångshastighet $v_0$.

Du känner till några punkter på kastparabeln (t.ex. hastigheten vid y=1.15), vilket betyder att du kan bestämma $v_0$ och $\alpha$ för den. Ett bekvämt sätt att bestämma parametrarna är att utnyttja den negativa tiden du fick då du löste andragradsekvationen. Tidsförskjutningen motsvarar tiden det tar för längdhopparen att ta sig från y=0 till tyngdpunktslinjen (y=1.15m).

Ett annat sätt är att jämföra derivatan i den kända punkten med kurvan för  kastparabeln:

$y(x)=x\tan(\alpha)-\frac{gx^2}{2v_o^2}(1+\tan^2(\alpha))$

När du bestämt parametrarna $v_0\approx9.48\mathrm{m/s}$ och $\alpha\approx 36.13^{\circ}$ ges $d$ av

$d=\frac{\overline{x}+x}{2}\approx 6.6\mathrm{m}$

Där kastvidden $\overline{x}$ ges av

$\overline{x}=v_0^2\frac{\sin(2\alpha)}{g}$

Och motsvarande för $x$ (fast med vinkel 21° och utgångshastighet 8.2m/s)

Tack så mycket för din pedagogiska förklaring! Jag hängde med i andra steget, men hur tar man sig vidare med det första? Den negativa tiden blev -0,27s (negativa tider finns inte så varför utnyttjas den ens?), vilken formel kan man använda för att få fram utgångsvinkeln och vinkel? 

Jag har inte läst det sista så noga, men så här kan man också göra. Vi struntar i tiden. Parabeln kan få ha x = 0 i vertex och y = 0 kan vara marknivå. Då är dess formel y = a-bx², och vi ska bestämma a och b. x när y = 1,15 har du redan räknat ut, det är kastvidden/2 = 2,29. För x = -2,29 ska alltså derivatan vara tan(21 grader) och då får vi b. För detta x ska a-bx² = 0 och då har vi a också. Nu återstår att finna x för när y = 0.

Leonhart skrev:

Den negativa tiden blev -0,27s (negativa tider finns inte så varför utnyttjas den ens?), vilken formel kan man använda för att få fram utgångsvinkeln och vinkel? 

Man använder den vanliga formeln $v_y=v_{0y}-gt$

Med tiden $t=-0.27\mathrm{s}$ får vi

$v_y=8.2\sin(21)-9.82\cdot(-0.27)\approx5.6\mathrm{m/s}$

Den horisontella hastigheten ändras inte, pythagoras sats (vektoraddition) ger oss den totala storleken:

$\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(8.2\cos(21))^2+5.6^2}\approx9.48\mathrm{m/s}$

Och vinkeln $\alpha$ blir

$\alpha=\arctan(\frac{v_y}{v_x})\approx \arctan(\frac{5.6}{8.2\cos(21)})\approx 36^{\circ}$