parabel

Bra! Den minsta y-koordinaten kommer att ligga på symmetriaxeln. Känner du igen det begreppet? Den ligger alltid mitt emellan en funktions nollställen. Den kan antingen hittas med PQ, eller genom att hitta nollställena. Jag visar båda sätten här:

Nollställen:

Använd nollproduktmetoden!

$$\begin{gathered} x^2+4x=0 \\ x(x+4)=0 \\ {x}_1=0 \\ {x}_2=-4 \end{gathered}$$

x-koordinaten mitt emellan nollställena är (0+(-4))/2 = (-2). Sätt in det x-värdet i y(x) och räkna ut y-värdet.

PQ-formeln:

$$\begin{gathered} x^2+px+q=0 \\ x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q} \end{gathered}$$

-p/2 är här symmetriaxeln eftersom den alltid kommer att ligga precis mittemellan nollställena i och med plus/minus-tecknet. Här får vi då att symmetriaxeln är likamed (-4)/2= (-2). Sätt in det x-värdet i y(x) och räkna ut det minsta y-värdet.

Ett alternativt sätt är att skriva om uttrycket m.h.a. kvadratkomplettering, d.v.s. man skriver det som en jämn kvadrat, i det här fallet på formen:

$y={\left(x+a\right)}^2+b$

Om vi tillämpar detta på ditt uttryck fås:

$y=x^2+4x=x^2+2·2x={\left(x+2\right)}^2-2^2={\left(x+2\right)}^2-4$

Kvadrattermen är alltid större än eller lika med noll och det minsta värdet (0) fås när x = -2. Då blir hela uttrycket lika med -4:

$y={\left(-2+2\right)}^2-4=0-4=-4$

Alltså är den sökta punkten med lägst y-koordinat:

$\left(x,y\right)=\left(-2,-4\right)$

Ett ytterligare alternativ är följande uttryck:
$$\begin{gathered} y-y_E=k·(x-x_E{)}^2 \\ där (x_E,y_E) är koordinaterna för extrempunkten \end{gathered}$$

så i detta fall skulle det då bli:
$y-(-4) = 1·(x-(-2){)}^2$

okej nu förstår jag, tack för hjälpen

mattekalle skrev :

Ett ytterligare alternativ är följande uttryck:
$$\begin{gathered} y-y_E=k·(x-x_E{)}^2 \\ där (x_E,y_E) är koordinaterna för extrempunkten \end{gathered}$$

så i detta fall skulle det då bli:
$y-(-4) = 1·(x-(-2){)}^2$

Jag förstår inte. Hur menar du?

Vad jag menar är att om du har en parabel som skrivs på detta sätt så ser du direkt x och y kooordinat för extrempunkten. Så i detta fallet tex:

$$\begin{gathered} y-x^2-4x=0 ger \\ y-{\left(x+2\right)}^2+4=0 ger \\ y-(-4) = 1·(x-(-2) {)}^2 \\ Extrempunkten \left(x_{E,}{y}_E\right) = \left(-2,-4\right) \end{gathered}$$