På hur många sätt kan man skapa grupper om 3 av 18 pers?

Jag vet inte vad C står för men:

Om vi antar att en lösning är 

[ A B C ][ D E F ][ G H I ][ J K L ][ M N O ][ P Q R ]

har då din lösning betraktat

[ D E F ][ G H I ][ J K L ][ M N O ][ P Q R ][ A B C ]

som samma lösning?

C står för ”choose” C(18, 3) betyder ”arton välj tre”. Jag är inte säker. Ska fundera och återkomma.

Okej, då tror jag att det är problemet.

Betrakta det mindre problemet att skapa grupper om 2 från 4 pers.

A kan vara med B eller med C eller med D, och de som ej ingår i A:s grupp bildar en egen så det finns 3 vis.

Tar vi istället C(4,2)*C(2,2) = $\frac{4!}{2!*2!}\frac{2!}{2!*0!}=\frac{4!}{4}\frac{\cancel{2!}}{\cancel{2!}*0!}=\frac{4*3*2*1}{4}=3*2*1=6$ vilket är dubbelt så många.

Dessa lösningar borde ges av

[A B][C D]

[A C][B D]

[A D][B C]

[B C][A D]

[B D][A C]

[C D][A B]

och där finns det dubbletter av varje uppsättning, eftersom grupperna kan placeras i 2!= 2 ordningar.

Jag kanske missförstår frågan helt och hållet men borde inte svaret bli sex?

Låt de fyra personerna vara a, b, c, d. Då finns det sex par man kan bilda:

(a, b), (a, c), (a, d)

(b, c), (b, d)

(c, d)

Borde inte varje parning utgöra en grupp? Alltså finns det sex olika grupper man kan bilda, alltså finns det sex olika sätt man kan skapa grupperna på?

Om du skapar gruppen (a, b) så måste de två kvarvarande personerna bilda en grupp, (c, d).

Om du skapar gruppen (c, d) så måste de två kvarvarande personerna bilda en grupp, (a, b).

Dessa två permutationer innebär båda att vi har en grupp på (a, b) och en på (c, d).

Detta borde räknas som en verklig permutation alltså, eftersom att personfördelningen blir identisk.

Tänk om man skulle bilda 4 grupper med 1 person vardera. Detta förstår man intuitivt att det är att alla bara jobbar för sig själv och det kan bara göras på ett sätt, men betraktar man vilken grupp de hamnar i så blir det istället 4! vis att bilda grupper.

Jaha, så man räknar (a, b)(c, d) som ett sätt att dela upp fyra personer i grupper om två? Jag missförstod förut då.

Bara så att jag har förstått ordentligt:

Om frågan är hur många grupper om två man kan skapa av fyra personer, då är svaret 6. Men om frågan är hur många sätt man kan skapa grupper om två på, då är svaret 3?

När jag läser om liknande problem på internet står det t.ex:

Vad menar de med att "we have introduced order in group formation". Alla skriver det på exakt samma sätt på alla lösningar jag läser men jag förstår inte vad det ska betyda. Varifrån kommer ordningen som beskrivs överallt?

Det är det Bedinsis beskriver i inlägg #4 ovan.

Där [A B][C D] är samma indelning som [C D][A B]
och [A C][B D] är samma indelning som [B D][A C]
och [A D][B C] är samma indelning som [A D][B C]

Man skall alltså inte ta hänsyn till ordningen av grupperna.

Ja, det är jag med på. Men jag undrar varför vi ens får med dessa dubbletter från början.

Jag tror jag måste ta det från början för att försäkra mig om att jag förstår det som händer rätt. 

• C(18, 3) ger en alla möjliga sätt att skapa en grupp med tre personer av 18. C(15, 3) ger samma sak fast av 15 personer istället... osv till C(3, 3).
• När jag sedan beräknar C(18, 3)*C(15, 3)*...*C(3, 3) beräknar jag alla möjliga sätt grupperna kan skapas på tillsammans, enligt multiplikationsprincipen.

Men då får man ju med dubletter. Är det för att multiplikationsprincipen skapar alla "permutationer" av grupperna, alltså att multiplikationsprincipen tar hänsyn till ordning?

Ja, då man räknar på det viset är de två permutationerna jag skrev ut i inlägg#2 helt unika permutationer, dvs de tar hänsyn till ordningen och låter detta vara någonting som har betydelse.

Jaha. Jag tror jag har ett sätt att tänka på det som känns logiskt för mig, men jag vill vara säker på att det är rätt.

Säg då att man bara skapar två grupper: C(18, 3) och C(15, 3). Man kan då se detta som att man först skapar alla möjliga grupper innehållande 3 personer från 18, och sedan alla möjliga grupper innehållande 3 personer från de 15 som är kvar. När man sedan beräknar C(18, 3)*C(15, 3) så skapar man alla möjliga par av dessa grupper, men då kommer samma par uppträda flera gånger, fast i omvänd ordning, eftersom multiplikationsprincipen betraktar paret AB som annorlunda paret BA. Då kommer den göra samma par två gånger.

Men den logiken kan väl inte riktigt stämma? Om vi tar ett mycket enklare kombinatorikproblem: på hur många sätt kan man välja en outfit om man har 9 tröjor och 5 byxor, då blir ju svaret 9*5 sätt, och då räknas ju ingenting dubbelt. I mina anteckningar har jag skrivit:

"Om händelse A kan väljas på m sätt, och det för varje val av A tillåts exakt n sätt att välja händelse B, ges händelse "A och B" av m*n". 

Borde det inte gälla här också?

Tillägg: 17 sep 2023 13:37

Jag tror att poletten äntligen föll ned! Är anledningen till att man måste dela med 6! att det kommer finnas överlappande grupper i mängderna A och B? Alltså säg att man skapar en mängd A med ett antal grupper enligt C(18, 3) och sedan en mängd B med ett antal grupper enligt C(15, 3). Visst kommer då i viss mån samma grupper uppträda i båda mängderna, vilket leder till dubletter när man sedan tar A*B?