På hur många sätt kan man dra denna "hand"?
I en skål har man kulor. Det finns fyra färger, och till varje färg hör 11 kulor, numrerade från och med 1 till och med 11. På hur många sätt kan man dra fyra kulor så att ingen har samma färg och så att ingen siffra är samma som en annan eller angränsar en annan (t.ex. om man har dragit en kula med siffran fyra får man inte dra en kula till med siffran fyra, fem eller tre).
Mitt (felaktiga) resonemang ser ut så här:
Vi börjar med att ta fram antalet sätt att dra en "hand" där inget tal är samma och där ingen färg är samma (men vi struntar i begränsningen med angränsande tal). Då får vi följande uttryck:
Sedan försöker jag beräkna alla sätt att välja fyra siffror, sådana att minst tvåsiffror angränsar varandra. Jag tänkte att oavsett vilka siffror man väljer ut (förutom 1 och 11) kommer det alltid finnas två siffror som angränsar. Så om man bortser från 1 och 11 kan man välja sina garanterat angränsande siffror på så här många sätt:
Eftersom mitt mål nu är att få antalet sätt att välja så att man får minst två angränsande tal, kan jag välja vilka siffror jag vill för resterande tal, så länge de inte är samma som de jag redan valt. Då finns det nio stycken kvar. Jag får då:
Nu har jag alla sätt att göra mina otillåtna val av siffror. Nu multiplicerar jag detta med antalet färger
Så jag tänkte att svaret skulle vara:
Men detta blir väldigt fel. Var ligger fele(t/n)?
Jag antar att ordining inte spelar roll inom detta, eftersom du dividerar med 4!. Om det gör det är det bara att multiplicera denna lösning med 4!.
Det är inte helt trivialt att följa ditt resonemang, men jag tror till exempel att du dividerar med 4! en gång får mycket när du beräknar antalet sätt att dra kulor utan att dra samma kula eller färg. Du behöver bara dela en gång, annars så förgör du effekten av de olika färgerna. Jag kan visa hur jag löste uppgiften. Det är inte direkt ortodoxt och det kan mycket väl finnas ett finare sätt, men jag tror att det är korrekt.
Vi kan börja med att ignorera färgbegränsningen, eftersom den är kommer att vara relativt enkel att faktorera in senare. Vi har alltså 11 kulor som vi ska dra 4 från, med begränsning att ingen får ha en likadan eller angränsande siffra som någon annan. Om vi ritar upp de 11 kulorna så kan vi systematiskt gå igenom varje möjlighet. I detta antar jag att vi drar alla kulor i ordning, dvs den som har det minsta nummret dras först, sedan den med det näst sista numret osv, vilket borde vara okej eftersom ordningen inte spelar någon roll. En möjlighet är att vi tar kulorna med nummer 1, 3 och 5. I detta fall kan den sista kulan vara nummer 7, 8, 9, 10 och 11, alltså 5 möjligheter. Om den tredje kulan istället är nummer 6, kan den sista vara 8, 9, 10 och 11, alltså fyra möjligheter. Detta resonemanget visar att i detta fall har vi 5+4+3+2+1 möjligheter bara genom att välja de två sista kulorna. Om den andra kulan har nummret 4 istället för 3, så kan inte den tredje kulan vara på plats 5, vilket tar bort de 5 första möjligheterna och därför ger oss 4+3+2+1 möjligheter istället. Med samma resonemang kan vi visa att genom att byta nummer för den andra kulan får vi därefter 3+2+1, 2+1, och 1 möjligheter för de två sista kulorna. Vi kan nu prova att ge den första kulan numret 2. I sådanna fall så kan den andra kulan inte ha numret 3, vilket innebär att vi nu har 4+3+2+1, 3+2+1, 2+1, och 1 möjligheter för de två sista kulorna. Samma resonemang kan användas för andra positioner för den första kulan för att ge 3+2+1, 2+1, och 1 möjligheter, 2+1 och 1 möjligheter, och slutligen 1 möjlighet för resten av kulorna. Vårt totala antal möjligheter är 5+4+3+2+1+4+3+2+1+4+3+2+1+3+2+1+3+2+1+3+2+1+2+1+2+1+2+1+2+1+1+1+1+1+1 = 70 möjligheter. Om vi sedan multiplicerar med 4! för att räkna med de olika färgerna så får vi totalt 1680 möjligheter. Jag hoppas att det är korrekt, och att du kunde någolunda följa detta resonemang.
Tack för ditt svar, @Lapland!
Ditt svar stämmer (det var det de flesta på provet fick) och jag kan följa din lösning alldeles utmärkt.
Jag tror att anlednigen till att min lösning är lite svårföljd (vilket jag för övrigt beklagar) är att jag tänker på kombinatoriken på ett lite annorlunda sätt än de flesta (det har funkat hittills).
Jag tänker att man drar element ur mängder, och det är sättet jag använder för att veta om jag ska dela med något och i så fall med vad. Jag tänker att siffrorna 1-11 utgör en mängd, och att färgerna utgör en mängd. På grund av att jag gör fyra lika stora val ur respektive mängd på tänker jag att jag får med en ordning, dels i valen av färg, och dels i siffrorna, vilken jag då måste dela bort. Men du menar alltså att den divisionen är felaktig?
Och hur tänker du kring resonemanget om att ta bort alla sätt där minst två tal angränsar? Den där "4-fakulteten" kan inte vara det enda felet, för mitt svar blev alledels för litet.
Har funderat på denna uppgift.
Dels hur man löser den allmänt, n kulor numrerade 1, 2, …, k. Kan man hitta ett samband, vad som händer när n ökas ett steg, och ställa upp en differensekv?
Dels vilken strategi som är mest ekonomisk för just detta fall med n = 4 och k = 11. Mitt förslag är följande:
Jag lägger kulorna i skålar numrerade 1, 2, …, 11 från vänster till höger.
1. Antag att mittvärdet, 6, inte är med.
1a. Då kan vi ha tre kulor på ena sidan och en kula på andra sidan sexan. Dvs (1,3 och 5) och (7,8,9,10 eller 11). Fem möjl.
Eller (7,9 och 11 och (1,2,3,4 eller 5) ytterligare fem möjl.
sammanlagt 10 möjligheter.
1b.. Två kulor på var sida om 6. Till vänster kan vi då ha värdena (1,3), (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,5), sex möjligheter. Lika många till höger om den tomma skål 6. De till vänster är oberoende av dem till höger så det blir 6*6 möjligheter.
sammanlagt 36 möjligheter.
2. En kula har värdet 6. Om det då är en kula till vänster om 6 så har den fyra möjliga värden. Till höger om 6 har vi möjl (8,10), (8,11), (9,11). Totalt 4*3 möjl.
Symmetri ger ytterligare 12 möjl ifall den ensamma kulan är till höger om 6.
sammanlagt 24 möjligheter.
Vi har alltså räknat ihop 10+36+24 = 70 varianter. Var och en har 4! färgpermutationer.
70*24 = 1680, OAO!
Rättelse första raden:
står ”Dels hur man löser den allmänt, n kulor numrerade 1, 2, …, k. ”
ska vara ”Dels hur man löser den allmänt, kulor i n färger numrerade 1, 2, …, k. ”
