På hur många sätt kan 20 personer delas in i 4 grupper om ingen får vara tom?

Jag har suttit med denna frågan sedan igårkväll, och det känns verkligen som om jag är någonting på spåret. Svaret ska vara ca. $1.086·{10}^{12}$, men jag får ett svar som är drygt dubbelt så stort. Mitt resonemang ser ut på följande vis:

Jag börjar med beräkna antalet sätt jag kan välja ut fyra personer från tjugo. Dessa "placerar" jag sedan, men inte riktigt (ni kommer förstå). Nu finns det åtminstone bara 16 personer kvar att placera.

På hur många sätt kan man fördela dessa 16 personer om ALLA hamnar i samma grupp? Jo:

$\displaystyle \binom{4}{1}\binom{16}{16}$. 

På hur många sätt kan man fördela dem, om bara 15 hamnar i samma men en hamnar i någon annan?

Jo, $\displaystyle \binom{4}{1}\binom{16}{15}\binom{3}{1}\binom{1}{1}$.

Här placerar jag först gruppen som ska få femton, och sedan placerar jag gruppen som bara ska få den som är kvar (C(3, 1) istället för C(4, 1) eftersom en grupp är tagen redan).

På hur många sätt kan man fördela dem, om bara 14 hamnar i samma men två hamnar i några andra? Jo:

$\displaystyle\binom{4}{1}\binom{16}{14}\frac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}\binom{3}{1}\binom{1}{1}}{2!}$.

Jag tror det går att se vad jag gör nu, och iterar man över $n\in \mathrm{ \mathbb N}_{0}^{8}$  får man ett tydligt mönster:

$\displaystyle\sum_{n=0}^{8}[4\binom{16}{16-n}\cdot 3^{n}]$.

Men vänta nu! Varför itererar du bara upp till 8 istället för 15? 

Jo, jag tänker att varje uppdelning räknas exakt två gånger (förutom 5 5 5 5), om man itererar hela vägen upp till 15. T.ex. kommer uppdelningen 1 1 15 1 räknas en gång när n=1, och en gång när n=15 (pga symmetri). Så om jag bara räknar upp till 8, och lägger till fallet 5 5 5 5 manuellt, borde jag få rätt svar.

Mitt förslag är hur som helst: 

$\displaystyle \binom{20}{4}\sum_{n=0}^{8}[4\binom{16}{16-n}\cdot 3^{n}+1]$

Detta blir dock som sagt dubbelt så stort, och jag förstår ej varför. Jag skulle helst vilja lösa uppgiften med min ansats, men om det inte går är jag öppen för andra förslag.