På en fiskodling behövde man omfördela fiskyngel mellan två behållare

Uppgiften lyder:

På en fiskodling behövde man omfördela fiskyngel mellan två behållare
eftersom det hade blivit för många fiskyngel i den ena behållaren. För att inte
störa ynglen för mycket, skedde omfördelningen långsamt.
Från början fanns 3,4*10⁶ fiskyngel i behållare A och 9,8*10⁶ i behållare B.
Överföringshastigheten valdes så att 5,5% av fiskynglen i B överfördes till A
per dygn. Efter hur lång tid fanns det lika mycket yngel i båda behållarna?

Min tanke var att man har en funktion för ynglen i behållare B som ser ut såhär: B(x)=9,8*10⁶*0,945^x. Och en funktion för ynglen i behållare A(x)=3,4*10⁶+9,8*10⁶*0,055^x.

Sedan för att lösa ut x tänkte jag att jag sätter B(x)=A(x). Men det ger inte rätt svar. Varför? Vad är det jag missar som gör att uppgiften inte kan lösas på det sättet?

EDIT - läste fel.

Nu vet jag inte vad det rätta svaret enligt ditt facit anses vara. Jag misstänker att du stötte på den här uppgiften i ett moment om differentialekvationer. Kan det stämma?

Om det är vad jag tror, så är det detta:

Du säger att antal yngel i behållare B är $B = B_{0} \cdot 0 . 945^{x}$ , där x är antalet dygn. Så skulle det vara om man tittar i sin behållare en gång per dygn, och skopar över 5.5% av ynglen vid det enda tillfället. Så kan man tolka uppgiften.

Men facit tolkar förmodligen uppgifttexten som att man kontinuerligt skopar över yngel, med en föröndringshastighet som är proportionell mot antalet yngel i behållaren, med proportionalitetskonstant -0.055. Då blir det en differentialekvation

$B^{'} = - 0.055 B$ , med lösningen $B = B_{0} \cdot e^{- 0.055 t}$ och t är antalet dygn

Hänger du med?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Om det gäller differentialekvationer så ska du följa tipset från JohanF.

Om det gäller dagliga engångsöverflyttningar så kan du tänka som du gjorde, men då är ditt uttryck för A(x) inte rätt.

Det antal yngel som tas från behållare B dygn x är 9,8*10⁶*(1-0,945^x).

Det är detta antal som du ska addera i uttrycket A(x).

Jag kunde inte släppa den här uppgiften eftersom den visade på en intressant grej. Så om du vill, läs vidare, annars strunta i vad jag skriver. Jag förstår att du är nöjd med Yngves svar, och det skulle jag också vara om jag var du, eftersom på det sätt uppgiften är formulerad kan man mycket väl tolka den på det sättet som du gjorde. Och man kommer fram till ett bra svar om man tolkar den så.

Din tolkning är att man kan räkna som att man skopar ut 5% av kvarvarande yngel vid _ett_ tillfälle per dygn.

Anledningen till att jag tror att man kanske inte ska tolka just denna uppgift på det sättet är några:

- Man talar om överföringshastighet i uppgiften, som att det är något som överförs kontinuerligt. Inte något som överförs vid ett enda diskret tillfälle per dygn.

- Du har sorterat uppgiften under Ma4/derivata, vilket innebär att kapitlet som din uppgift ligger i, förmodligen handlar om derivator och differentialekvationer (och inte tillväxtfaktorer, tex ränta på insatt kapital etc).

MEN, det är inte tolkningen av uppgifttexten som är intressant, utan det är faktumet att man får nästan samma svar med dom två olika lösningsmetoderna (men bara nästan).

En skopning yngel per dygn, där skopan innehåller 5.5% av kvarvarande yngel, ger ekvationen

$\frac{9.8 + 3.4}{2} = 9.8 \cdot 0 . 945^{x} \to x = 7.0 d y g n$

Om man istället skopar kontinuerligt, dvs små små skopor, men många många skopor per dygn, med hastigheten 5.5% av kvarvarande yngel/dygn, så får man differentialekvationen i kommentar #1, som sedan resulterar i ekvationen

$\frac{9.8 + 3.4}{2} = 9.8 \cdot e^{- 0.055 x} \to x = 7.2 d y g n$

Intressant hur svaren kan bli _nästan_ lika. Dessutom, ju mindre man gör "steglängden" i diskretiseringen, dvs ju fler skopor per dygn, ju mer lika blir svaren. Iallafall jag lärde mig något av uppgiften. Tack!

Svara

Visa senaste svar