19 svar

103 visningar

p triangel

Visa att summan av talen på rad n i Pascals triangel är

$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 2^{n}$

Vet inte hur jag ska börja här

Kan du formeln för binomialutvecklingen av

$(a+b)^n$

Den sökta likheten trillar ut om du väljer speciella värden på a och b. Lite av ett trick...

Förstår att n är varje rad i pascals triangel och 0,1,2,...n (det under) är numreringen horisontellt. Men fattar inte hur jag ska visa att v.l=h.l

Du behöver inte använda pascals triangel, men tal k från vänster på rad n är (n över k).

Skriv ut utvecklingen av (a + b)ⁿ och titta på vad det är du ska visa. Finns det några likheter?

Det är lika med koeffcienten framför?

Ja, jag antar det.

Då har du alltså allmänt att

$(a+b)^n=\sum_k \binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

och du ska visa att

$2^n=\sum_k \binom{n}{k}$

Hänger inte med helt. Vi är inte så bekanta med summa tecknet! o.o

Ok, men binomialformeln (med eller utan summatecken) måste ha härletts på något sätt i din bok eller av din lärare.

Likheten som du ska visa är ett specialfall av binomialformeln om man väljer a = ... och b = ... .

Att visa likheten på annat sätt än via binomialformeln verkar jobbigt.

plusminus skrev:
Visa att summan av talen på rad n i Pascals triangel är

$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 2^{n}$

Vet inte hur jag ska börja här

Du kan resonera på lite olika sätt

VL är antalet sätt du kan välja NÅGON mängd kulor av n kulor (d.v.s. 0 kulor, 1 kula, 2 kulor, 3 kulor, ..., n kulor). Om du radar upp dessa n kulor och för varje kula fattar beslutet "välj, eller hoppa över" har du för varje kula 2 val, som upprepas n gånger vilket ger 2^n olika slutresultat.

Om du studerar varje rad i Pascals triangel är varje term summan av två ovanstående termer. Alltså är värdet av rad n+1 dubbelt så stort som rad n. Vi skriver detta som S(n+1)=2S(n)

Då S(0)=1, S(1)=2, S(2)=4, ...

är det lätt att anta att S(n)=2^n vilket visas med induktion, eller att man "ser" det direkt från S(n+1)=2S(n), då det sker en fördubbling i varje steg.

Binomialsatsen

(a+b)^n = SUM_0^n (n över k)a^n b^(n-k)

Välj a=b=1

2^n = SUM_0^n (n över k)

Det finns säkert fler sätt att resonera.

Jag hänger inte med.

Vad mera exakt är det som är otydligt?

Jag tar gärna det steg för steg. Jag förstår inte hur jag ska tolka uttrycket och hur jag ska påbörja lösningen. Känns lite rörigt nu.

Är du med på binomialsatsen?

https://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen

Har den behandlats i din bok? Beviset av satsen är ganska tekniskt så det kan du hoppa över - det viktiga är att du känner till den.

Ja den känner jag till (har använt den för att utveckla paranteser)

plusminus skrev:
Ja den känner jag till (har använt den för att utveckla paranteser)

Utmärkt.

Tag nu denna

och sätt x=y=1

Vad får du då?

2ⁿ ?

Ja, 2^n blir det till vänster.

Hur ser HL om du expanderar summan? Känns den igen från uppgiften?

Ja juste.

Men hur har man visat detta? Jag förstår inte varför man ska anta att x och y är 1 och att man sedan ska utveckla detta?

Svara

Visa senaste svar