Oxå sfärisk koordinater

Du har (helt korrekt) ritat upp dubbelkonen som visar hyr z beror på x och y, men vilket tredimensionellt område är det du skall integrera över?

Smaragdalena skrev:

Du har (helt korrekt) ritat upp dubbelkonen som visar hyr z beror på x och y, men vilket tredimensionellt område är det du skall integrera över?

 Den övre delen??  

Ja, men vilken del av den övre halvan? Det är inte allt som är över "mitten" som ingår i kroppen.

Smaragdalena skrev:

Ja, men vilken del av den övre halvan? Det är inte allt som är över "mitten" som ingår i kroppen.

 Nja vet inte 

Det står på första raden i uppgiften.

Smaragdalena skrev:

Det står på första raden i uppgiften.

 Men vet inte hur jag ska förstå att den gränsen går så. 

Försöker illustrera detta såhär 

Jag kan inte se på din bild att det bara är den delen av konen där $z>1$ som skall vara med. Det står tydligt längst till höger på första raden i uppgiften.

Kroppen $K$ är en oändligt hög stympad rak cirkulär kon som är vänd upp-och-ner; konen har kapats vid $z=1.$

• För att beräkna trippelintegralen kan man kapa den oändligt höga konen på nivån $z=n$ så att man får kroppen $K_n$ som är en upp-och-nedvänd stympad rak cirkulär kon som har höjden $n-1$ och bottenradien $n$ och toppradien $1$.
• Beräkna integralen $\iiint_{K_n}$ och se vad som händer med resultatet när $n\to\infty$ för att få en uppfattning om den sökta integralen $\iiint_{K}$.

För att beräkna trippelintegralen $\iiint_{K_n}$ kan man använda cylinderkoordinater $(\rho,\alpha, \zeta)$ där

    $x=\rho \cos\alpha$ och $y=\sin\alpha$ och $z=\zeta$

och där $\rho\geq 0$ och $0\leq \alpha \leq 2\pi$ och $\zeta \in \mathbb{R}$; jag vet inte vad rymdpolära koordinater är för något. 

Differentialvolymelementet blir $dxdydz = \rho \cdot d\rho\,d\alpha\,d\zeta$ och integralen blir

    $\displaystyle\iiint_{K_n}\frac{\rho}{(\rho^2+\zeta^2)^2}\,d\rho\,d\alpha\,d\zeta = \int_{\zeta=1}^{n}\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}\{\int_{\rho=0}^{\zeta}\frac{\rho}{(\zeta^2+\rho^2)^2}\,d\rho\}\,d\alpha\}\,d\zeta.$